1) Xét $∆ABE$ và $∆ACF$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$

Do đó $∆ABE\sim ∆ACF\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$

Xét $∆AEF$ và $∆ABC$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$ $(cmt)$

Do đó $∆AEF\sim ∆ABC\, (c.g.c)$

b) Ta có:

$BDHF$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{D} + \widehat{F} = 180^o)$

$\Rightarrow \widehat{DFH} =\widehat{DBF}$

$AEHF$ là tứ giác nội tiếp $(\widehat{E} + \widehat{F} = 180^o)$

$\Rightarrow \widehat{EFH} = \widehat{EAH}$

Mặt khác:

$\widehat{DBH} = \widehat{CBE} =\widehat{DAC} = \widehat{EAH}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$

Do đó:

$\widehat{DFH} = \widehat{EFH}$

$\Rightarrow FH$ là phân giác của $\widehat{DFE}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$

$DH$ là phân giác của $\widehat{EDF}$

$\Rightarrow H$ là giao điểm 3 đường phân giác của $∆DEF$

3) Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

$a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{(a + b + c)^2}{3}$ $(1)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ ta được

$\dfrac{[(p - a) + (p - b)+(p-c)]^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^3}{27} \geq (p-a)(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^4}{27} \geq p(p-a)(p-b)(p-c)$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3\sqrt3} \geq S$

$\Leftrightarrow \dfrac{p^2}{3} \geq \sqrt3S$

$\Leftrightarrow \dfrac{4p^2}{3}\geq 4\sqrt3S$

$\Leftrightarrow \dfrac{(2p)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a + b + c)^2}{3} \geq 4\sqrt3S$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow∆ABC$ đều

_______________________________________________

Ta có:

$+)\quad a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt3S$

Bất đẳng thức $Weizenbock$

$+)\quad 2(ab + bc + ca) - (a^2 + b^2 + c^2)\geq 4\sqrt3S$

Bất đẳng thức $Hadwiger-Finsler$