Đáp án:

a) $EF=10cm; DK=3cm; KF=5cm$

b) $\triangle DEK\backsim\triangle HEI, DE.EI=EK.HE$

c) $S_{\triangle DGK}=1,8cm^2$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle DEF$ vuông tại D:

$DE^2+DF^2=EF^2$ (định lý Pytago)

$\to EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10(cm)$

$\triangle DEF$ có đường phân giác EK (gt)

$\to\dfrac{DK}{KF}=\dfrac{DE}{EF}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\\\\to KF=\dfrac{5}{3}DK$

Ta có:

$DK+KF=DF=8(cm)\\\to DK+\dfrac{5}{3}DK=8\\\to 8DK=24\\\to DK=3(cm)\to KF=8-3=5(cm)$

b)

Xét $\triangle DEK$ và $\triangle HEI$:

$\widehat{EDK}=\widehat{EHI}\,\,\(=90^o)$

$\widehat{DEK}=\widehat{HEI}$ (gt)

$\to\triangle DEK\backsim\triangle HEI$ (g.g)

$\to\dfrac{DE}{EK}=\dfrac{HE}{EI}\\\to DE.EI=EK.HE$

c)

$\triangle DEK\backsim\triangle HEI$ (cmt)

$\to\widehat{DKE}=\widehat{HIE}$

Ta có:

$\widehat{HIE}=\widehat{DIK}$ (đối đỉnh)

$\to\widehat{DKE}=\widehat{DIK}$

Hay $\widehat{DKI}=\widehat{DIK}$

$\to\triangle DIK$ cân tại D

Mà DG là đường trung tuyến (gt)

$\to$ DG đồng thời là đường cao

$\to DG\bot IK\\\to DG\bot GK$

Xét $\triangle DGK$ và $\triangle EHI$:

$\widehat{DGK}=\widehat{EHI}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{DKG}=\widehat{EIH}$ (cmt)

$\to\triangle DGK\backsim\triangle EHI$ (g.g)

$\to k=\dfrac{DK}{EI}$

$S_{\triangle DEF}=\dfrac{1}{2}.DE.DF=\dfrac{1}{2}.DH.EF\\\to DE.DF=DH.EF\\\to DH=\dfrac{DE.DF}{EF}=\dfrac{6.8}{10}=4,8(cm)$

$\triangle DHE$ vuông tại H:

$HD^2+HE^2=DE^2$ (định lý Pytago)

$\to HE=\sqrt{DE^2-HD^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6(cm)$

$\triangle DHE$ có đường phân giác EI (gt)

$\to\dfrac{IH}{ID}=\dfrac{EH}{ED}=\dfrac{3,6}{6}=\dfrac{3}{5}\\\to ID=\dfrac{5}{3}IH$

Lại có:

$IH+ID=HD=4,8(cm)\\\to IH+\dfrac{5}{3}IH=4,8\\\to 8IH=14,4\\\to IH=1,8(cm)$

$\triangle IHE$ vuông tại H:

$HI^2+HE^2=IE^2$ (định lý Pytago)

$\to IE=\sqrt{HI^2+HE^2}=\sqrt{1,8^2+3,6^2}=\dfrac{9\sqrt{5}}{5}(cm)$

$\to k=\dfrac{DK}{EI}=\dfrac{3}{\dfrac{9\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$

$\to\dfrac{S_{\triangle DGK}}{S_{\triangle EHI}}=k^2=\dfrac{5}{9}\\\to S_{\triangle DGK}=\dfrac{5}{9}S_{\triangle EHI}=\dfrac{5}{9}.\dfrac{1}{2}.HE.HI\\=\dfrac{5}{9}.\dfrac{1}{2}.3,6.1,8=1,8(cm^2)$