a)

Xét tam giác ACB đỉnh C ta có : 
 + E là trung điểm AC
 + M là trung điểm BC
=> EM là đường trung bình của tam giác
=> EM=1/2 AB = AD=BD (1)( D là trung điểm của AB)
Xét tam giác ABC đỉnh C ta có : 
+ M là trung điểm của BC
+ D là trung điểm AB
=> MD là trung bình của tam giác ABC
=> MD = 1/2 AC = AE = EC (2) ( E là trung điểm AC)
Xét tứ giác AEMD có : 
 AD = EM (từ 1)
 DM = AE ( từ 2)
=> Tứ giác AEMD là hình bình hành
Lại có : F là trung điểm của đường chéo AM
=> F là giao điểm của đường chéo AM và DE
=> D,E,F thẳng hàng 

   b)

Vì tứ giác AEMD là hình bình hành ( cm ở câu a)
Mà F lại là trung điểm của AM
=> F là trung điểm DE .

Lời giải:

a) $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $AB, E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$DE//BC$ và $DE=\dfrac{BC}2$(1)

$\Delta AMC$ có $F$ là trung điểm của $AM, E$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow FE$ là đường trung bình của $\Delta AMC$

$\Rightarrow FE//MC$ và $FE=\dfrac{MC}2$ hay $FE//BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DE, EF$ cùng song song với $BC$

$\Rightarrow D, E, F$ thẳng hàng.

b) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$ nên $M$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow MB=MC=\dfrac{BC}{2}$

$\Rightarrow FE=\dfrac{MC}2=\dfrac{BC}{4}$ (3)

Chứng mình tương tự $\Delta ABM$ có $DF$ là đường trung bình của $\Delta ABM$

$\Rightarrow DF=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{BC}4$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $DF=FE$ và có $D, E, F$ thẳng hàng câu a

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $DE$.