Giải thích các bước giải:

1.Ta có $xy, Bx,  Cy$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to DA,DB$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)\to DA=DB$ 

2.Ta có $DA,DB$ là tiếp tuyến tại $D$ của $(O)$

$\to OD\perp AB$

3.Chứng minh tương tự câu $2\to OE\perp AC$

Mà $BC$ là đường kính của $(O)\to AB\perp AC$

Ta có $AB\perp AC, OD\perp AB=I, OE\perp AC=J$

$\to AIOJ$ là hình chữ nhật

4.Ta có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\to OG=\dfrac13OA=\dfrac13R$

$\to G\in (O,\dfrac13R)$ có định

5.

+)Ta có:

$P_{ABC}=AB+AC+BC=\sqrt{(AB+AC)^2}+BC\le \sqrt{2(AB^2+AC^2)}+BC=\sqrt{2BC^2}+BC=BC(\sqrt{2}+1)=2R(\sqrt{2}+1)$

Dấu = xảy ra khi $AB=AC\to A$ nằm chính giữa cung $BC$

+)Ta có: 

$S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\le \dfrac12\cdot \dfrac12(AB^2+AC^2)=\dfrac14BC^2=R^2$

Dấu = xảy ra khi $AB=AC\to A$ nằm chính giữa cung $BC$

+)Ta có:

$DA,DB$ là tiếp tuyến của $(O)\to DO\perp BD=I$ là trung điểm $AB$

Tương tự $J$ là trung điểm $AC$

$\to S_{OIAJ}=AI\cdot AJ=\dfrac12AB\cdot\dfrac12AC=\dfrac12\cdot S_{ABC}\le \dfrac12R^2$

Dấu = xảy ra khi $A$ nằm giữa cung $BC$

+)Ta có:

$BD\perp BC, CE\perp BC\to BCED$ là hình thang vuông tại $B,C$
$S_{BDEC}=\dfrac12\cdot BC\cdot( BD+CE)$

Lại có $DB=DA, EC=EA$

$\to BD+CE=AD+AE=DE\ge BC$

$\to S_{BDEC}\ge \dfrac12\cdot BC\cdot BC=\dfrac12BC^2$

Dấu = xảy ra khi $DE//BC$

$\to OA\perp BC$
$\to A$ nằm chính giữa cung $BC$