Đáp án:

a) $\triangle ABH\backsim\triangle CAH$

b) $\triangle ABM\backsim\triangle CAN$

c) $AM\bot CN$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$\widehat{B}+\widehat{C}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\triangle AHB$ vuông tại H:

$\widehat{B}+\widehat{BAH}=90^o$ (2 góc phụ nhau)

$\to\widehat{C}=\widehat{BAH}$

Xét $\triangle ABH$ và $\triangle CAH$:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}\,\,\,(=90^o)$

$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (cmt)

$\to\triangle ABH\backsim\triangle CAH$ (g.g)

$\to\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$

$\to\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{BH}{AH}$

b)

Ta có:

$\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{BH}{AH}\\\to\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{2BM}{AN}=\dfrac{BM}{AN}$

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle CAN$:

$\dfrac{AB}{CA}=\dfrac{BM}{AN}$ (cmt)

$\widehat{ABM}=\widehat{CAN}$ (cmt)

$\to\triangle ABM\backsim\triangle CAN$ (c.g.c)

c)

Xét $\triangle AHB$:

M là trung điểm của BH (gt)

N là trung điểm của AH (gt)

$\to$ MN là đường trung bình của $\triangle AHB$

$\to MN//AB$

Mà $AB\bot AC$ (gt)

$\to MN\bot AC$

Xét $\triangle AMC$:

$AH\bot MC\,\,\,(AH\bot BC)$

$MN\bot AC$ (cmt)

N là giao điểm của AH và MN

$\to$ N là trực tâm của $\triangle AMC$

$\to AM\bot CN$