Đáp án:

Câu 1: $\left[ \begin{array}{l}m=4+\sqrt[]{10}\\m=4-\sqrt[]{10}\end{array} \right.$

Câu 2: $0$

Giải thích các bước giải:

Câu 1: Phương trình giao điểm:

$2x+1=(x+1)(x+m-1)$

$↔ 2x+1=x^2+mx-x+x+m-1$

$↔ x^2+(m-2)x+m-2=0$

Để có hai điểm phân biệt thì:

$Δ>0$

$↔ (m-2)^2-4(m-2)>0$

$↔ m^2-8m+12>0$

$↔ \left[ \begin{array}{l}m<2\\m>6\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$x_A=\dfrac{2-m+\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}$

$x_B=\dfrac{2-m-\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}$

$→ y_A=\dfrac{m+\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}$

$y_B=\dfrac{m-\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}$

$AB=2\sqrt[]{3}$

$↔ \sqrt[]{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}=2\sqrt[]{3}$

$→ (x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2=12$

$↔ \Bigg(\dfrac{2-m+\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}-\dfrac{2-m-\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}\Bigg)^2+\Bigg(\dfrac{m+\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}-\dfrac{m-\sqrt[]{m^2-8m+12}}{2}\Bigg)^2=12$

$↔ 2(m^2-8m+12)=12$

$↔ m^2-8m+12=6$

$↔ m^2-8m+6=0$

$↔ \left[ \begin{array}{l}m=4+\sqrt[]{10}\\m=4-\sqrt[]{10}\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Câu 2:

$y'=x^2-2mx+m^2-1$

$=(x-m)^2-1$

$=(x-m+1)(x-m-1)$

$y'=0 ↔ \left[ \begin{array}{l}x=m-1\\x=m+1\end{array} \right.$

$→ x_A=m-1$

$x_B=m+1$

Thay $x_A$ và $x_B$ vào hàm số ban đầu, ta có:

$y_A=\dfrac{1}{3}m^3-m+\dfrac{2}{3}$

$y_B=\dfrac{1}{3}m^3-m-\dfrac{2}{3}$

Vì $A,B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $y=5x-9$ nên trung điểm của $AB$ thuộc đường thẳng $y=5x-9$

Gọi $I$ là trung điểm $AB$, ta có $I\Bigg(m;\dfrac{1}{3}m^3-m\Bigg)$

$→ \dfrac{1}{3}m^3-m=5m-9$

$↔ m^3-18m+27=0$

$↔ \left[ \begin{array}{l}m_1=3\\m^2+3m-9=0\end{array} \right.$

$↔ \left[ \begin{array}{l}m_1=3\\m_2+m_3=-3\end{array} \right.$

$→$ Tổng các phần tử của $S$ là: 

$m_1+m_2+m_3=3-3=0$