d) $x + 2y = 3$

$\Rightarrow x = 3 - 2y$

Ta được:

$A = x^2 + 2y^2$

$\to A = (3-2y)^2 + 2y^2$

$\to A = 9 - 12y + 4y^2 + 2y^2$

$\to A = 6y^2 - 12y + 9$

$\to A = 6(y - 1)^2 + 3$

$\to A \geq 3$

$\to \min A = 3 \Leftrightarrow y = 1 \to x = 1$

e) $x + y = 2$

$\Rightarrow \begin{cases}(x +y)^3 = 8\\x = 2 - y\end{cases}$

Ta được:

$A = x^3 +y^2 + 2xy$

$\to A = (x+y)^3 - 3xy(x+y) + 2xy$

$\to A = 8 - 6xy + 2xy$

$\to A = 8 - 4xy$

$\to A = 8 - 4(2-y)y$

$\to A = 8 - 8y + 4y^2$

$\to A = 4(y - 1)^2 + 4$

$\to A \geq 4$

$\to \min A = 4 \Leftrightarrow y = 1 \to x = 1$

a) $2x^2 + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{y^2}{4} = 4$

$\to x^2 + 2.x.\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 2$

$\to \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 + x^2 + \dfrac{y^2}{4} = 2$

Áp dụng bất đẳng thức $AM -GM$ ta được:

$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 + x^2 + \dfrac{y^2}{4} \geq 4 + xy$

$\Leftrightarrow 2 \geq 4 + xy$

$\Leftrightarrow xy \leq -2$

$\Rightarrow \max A = -2 \Leftrightarrow (x;y) = (1;2)$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) $ 2x² + \dfrac{1}{x²} +  \dfrac{y²}{4} = 4$

$ ⇔ 8x^{4} + 4 + x²y² = 4x²$

$ ⇔ x²y² = 4 - 8(x² - 1)² ≤ 4$

$ ⇒ A = xy ≤ 2$

$ ⇒ MaxA = 2 ⇔ x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1; y² = 4$

$ ⇔ x = 1; y = 2$ hoặc $ x = - 1; y = - 2$

b)

$ 2a² + \dfrac{b²}{4} + \dfrac{1}{a²} = 4$

$ ⇔ 8a^{4} + a²b² + 4 = 4a²$

$ ⇔ a²b² = 4 - 8(a² - 1)² ≤ 4$

$ ⇒ - 2 ≤ ab ≤ 2$

$ ⇒ MinS = - 2 + 2017 = 2015 ⇔ a² - 1 = 0 ⇔ a² = 1; b² = 4$

$ ⇔ a = - 1; b = 2$ hoặc $ a = 1; b = - 2$

$ ⇒ MaxS = 2 + 2017 = 2019 ⇔ a² - 1 = 0 ⇔ a² = 1; b² = 4$

$ ⇔ a = - 1; b = - 2$ hoặc $ a = 1; b = 2$

c)

$ x² + \dfrac{8}{x²} + \dfrac{y²}{8} = 8$

$ ⇔ 8x^{4} + 64 + x²y² = 64x²$

$ ⇔ x²y² = 64 - 8(x² - 4)² ≤ 64$

$ ⇒ - 8 ≤ xy ≤ 8$

$ ⇒ MinA = - 8 + 2024 = 2016 ⇔ x² - 4 = 0 ⇔ x² = 4; y² = 16$

$ ⇔ x = - 2; y = 4$ hoặc $ x = 2; b = - 4$

$ ⇒ MaxA = 8 + 2024 = 2032 ⇔ x² - 4 = 0 ⇔ x² = 4; y² = 16$

$ ⇔ x = - 2; y = - 4$ hoặc $ x = 2; y = 4$

d) $ 2x² - 4xy + 2y² = 2(x - y)² ≥ 0$

$ ⇔ 3x² + 6y² ≥ x² + 4xy + 4y²$

$ ⇔ 3(x² + 2y²) ≥ (x + 2y)² = 3² = 9$

$ ⇔ x² + 2y² ≥ 3$

$ ⇒ MinA = 3 ⇔ x = y = 1$

e) $ A = x³ + y³ + 2xy = (x + y)(x² + y² - xy) + 2xy$

$ = 2(x² + y² - xy) + 2xy = 2(x² + y²) ≥ (x + y)² = 4$

$ ⇒ MinA = 4 ⇔ x = y = 1$