Đáp án + Giải thích các bước giải:

I. Căn bậc hai

1. Một số công thức cần nhớ

`@(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b`$\\$`@(1+\sqrt{a})^2=1+2\sqrt{a}+a`$\\$`@(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b`$\\$`@(1-\sqrt{a})^2=1-2\sqrt{a}+a`$\\$`@a-b=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})`$\\$`@a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(a-\sqrt{ab}+b)`$\\$`@a\sqrt{a}-b\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)`$\\$`@1-a\sqrt{a}=(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+a)`$\\$`@1+a\sqrt{a}=(1+sqrt{a})(1-\sqrt{a}+a)`$\\$`@a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=(\sqrt{ab})(\sqrt{a}+\sqrt{b})`$\\$`@a\sqrt{b}-b\sqrt{a}=(\sqrt{ab})(\sqrt{a}-\sqrt{b})`

2. Điều kiện để căn thức có nghĩa

`\sqrt{A}` có nghĩa khi `A>=0`

3. Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức

`(1)A(x)` là đa thức `=>A(x)` luôn có nghĩa

`(2)(A(x))/(B(x))` có nghĩa `<=>B(x)\ne0`

`(3)\sqrt{A(x)}` có nghĩa `<=>A(x)>=0`

`(4)(A(x))/(\sqrt{B(x)})` có nghĩa `<=>B(x)>0`

4. Tính chất của căn bậc hai

Với hai số `a` và `b` không âm, ta có:

`a<b<=>\sqrt{a}<\sqrt{b}`

5. Các công thức biến đổi căn thức

`+)\sqrt{A^2}=|A|={(A),(-A):}`

`+)` Nếu `A` không âm thì:

`\sqrt{A^2}=A=\sqrt{A}*\sqrt{A}=(\sqrt{A})^2`

`+)\sqrt{A*B}=\sqrt{A}*\sqrt{B}` (với `A>=0;B>=0)`

Tổng quát:

`\sqrt{A_1A_2...A_n}=\sqrt{A_1}*\sqrt{A_2}...\sqrt{A_n}` với `A_i ≥ 0 (1 ≤ i ≤ n)`

`+)\sqrt{A/B}=\sqrt{A}/\sqrt{B}` (với `A>=0,B>=0)`

`+)` Đưa thừa số `A^2` ra ngoài dấu căn bậc hai ta được `|A|`

Ta có: `\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt{B}`

`+)` Đưa thừa số vào trong dấu căn bậc hai:

`A\sqrt{B}=\sqrt{A^2B}` (với `A>=0)`

`A\sqrt{B}=-\sqrt{A^2B}` (với `A>=0)`

`+)` Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai:

Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là một bình phương

`\sqrt{A/B}=\sqrt{A*B}/\sqrt{B^2}=\sqrt{A*B}/|B|` (với `B ≠ 0, A*B ≥ 0)`

+) Trục căn thức ở mẫu số:

Dạng 1:  Mẫu là biểu thứcdạng tíchcác căn thức và các số,ta nhân tử và mẫu với căn thức.

`A/\sqrt{B}=(A\sqrt{B})/B(B>0)`

`A/(a\sqrt{B})=(A*\sqrt{B})/(a*(\sqrt{B})^2)=(A*\sqrt{B})/(a*b)`

Dạng 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

`@A-B` và `A+B` là hai biểu thức liên hợp vớinhau

`@(A-B)(A+B)=A^2-B^2`

`@C/(\sqrt{A}+-B)=`$\dfrac{C(\sqrt{A}\mp P)}{A-B^2}$ `(A>=0;A\neB^2)`

`@m/(A+\sqrt{B})=(m*(A-\sqrt{B}))/((A+\sqrt{B})(A-\sqrt{B}))=(m*(A-sqrt{B}))/(A^2-B)`

`@m/(A-\sqrt{B})=(m*(A+\sqrt{B}))/((A-\sqrt{B})(A+\sqrt{B}))=(m*(A+sqrt{B}))/(A^2-B)`

`@C/(\sqrt{A}+-\sqrt{B})=`$\dfrac{C(\sqrt{A}\mp\sqrt{B})}{A-B^2}$ `(A>=0;B>=0;A\neB)`

`@m/(\sqrt{A}+\sqrt{B})=(m*(\sqrt{A}-\sqrt{B}))/((\sqrt{A}+\sqrt{B})(\sqrt{A}-\sqrt{B}))=(m*(\sqrt{A}-\sqrt{B}))/(A-B)`

`@m/(\sqrt{A}-\sqrt{B})=(m*(\sqrt{A}+\sqrt{B}))/((\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B}))=(m*(\sqrt{A}+\sqrt{B}))/(A-B)`

6. Phương trình chứa căn thức bậc hai

`(1)\sqrt{A^2}=0<=>|A|=0<=>A=0`

`(2)\sqrt{A}=\sqrt{B}<=>{(B>=0),(A=B):}` (hoặc `A>=0)`

`(3)\sqrt{A}=B<=>{(B>=0),(A=B^2):}`

`(4)\sqrt{A}+\sqrt{B}=0<=>A=0` và `B=0`

II. Căn bậc ba

`+)(\root{3}{a})^3=\root{3}{a^3}=a`

`+)a<b<=>\root{3}{a}<\root{3}{b}`

`+)\root{3}{ab}=\root{3}{a}*\root{3}{b}`

`+)` Với `b\ne0,` ta có `\root{3}{a/b}=\root{3}{a}/\root{3}{b}`