Gọi AD là trung tuyến trong `triangle ABC` (`D in BC`)

Trên tia đối tia AD lấy `ED = AD`

Xét `triangle ABD` và `triangle ECD` có:

`@ BD= CD` (vì D là trung điểm BC)

`@ hat(ADB) = hat(EDC)` (2 góc đối đỉnh)

`@ AD =ED` (cách vẽ)

`=> triangle ABD = triangle ECD` (c.g.c)

`=> AB = EC` ; `hat(BAD) = hat(CED)`

mà 2 góc ở vị trí so le trong

`=> BA`//`EC`

vì `AB bot AC => EC bot AC`

Xét `triangle ABC` và `triangle CEA` có:

`@ AB = CE` (cmt)

`@ hat(BAC) = hat(ECA) (=90^o)`

`@ AC:` chung

`=> triangle ABC = triangle CEA` (c.g.c)`

`=> BC = EA`

mà `AD = 1/2 EA`

`=> AD = 1/2 BC`

Vì `AB =1/2 BC`

`=> AD =AB = BD (=1/2 BC)`

`=> triangle ABD` là tam giác đều

`=> hat(ABD) = 60^o`

`=> hat(C) = 90^o - 60^o = 30^o` (`triangle ABC` vuông tại A)

Vậy `hat(C) = 30^o` khi và chỉ khi `AB = 1/2 BC`

Kẻ `AH` là trung tuyến của `Δ` ABC

Theo tính chất của đường trung tuyến thì suy ra:  `AH=1/2BC`

Vì `H` là trung điểm của `BC` nên:

`BH=CH` (t/c của trung điểm)

Mà `AH=1/2BC`

`=> BH=CH=1/2BC`

`=> AH=BH=CM`

`=> ΔABH` là tam giác cân 

(1)`=> AB=BH`

Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác, ta có:  

`\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°`

`=> \hat{B}=180°-(\hat{A}+\hat{C})`

`=> \hat{B}=180°-(90°+30°)`

(2)`=> \hat{B}=60°`

Từ `(1)` và `(2)` ta có: `AB=1/2BC` (đpcm)