Giải thích các bước giải:

1.Vì $E$ là trung điểm $MN\to OE\perp MN$

Ta có: $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{AEO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to A, B, E, O, C\in$ đường tròn đường kính $AO$

2.Ta có:

$2\widehat{BNC}+\widehat{BAC}=\widehat{BOC}+\widehat{BAC}=180^o$ vì $ABOC$ nội tiếp

3.Xét $\Delta ACM,\Delta ACN$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ACM}=\widehat{ANC}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ACM\sim\Delta ANC(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AM}{AC}$ 

$\to AC^2=AM\cdot AN$

$\to AE^2-AC^2=AE^2-AM\cdot AN$

$\to AE^2-AC^2=(AM+ME)(AN-NE)-AM\cdot AN$

$\to AE^2-AC^2=(AM+\dfrac12MN)(AN-\dfrac12MN)-AM\cdot AN$

$\to AE^2-AC^2=AM\cdot AN+\dfrac12MN(AN-AM)-\dfrac14MN^2-AM\cdot AN$

$\to AE^2-AC^2=\dfrac12MN\cdot MN-\dfrac14MN^2$

$\to AE^2-AC^2=\dfrac12MN^2-\dfrac14MN^2$

$\to AE^2-AC^2=\dfrac14MN^2$

$\to MN^2=4(AE^2-AC^2)$

4.Gọi $MD\perp BC$

$\to \widehat{MDB}=\widehat{MIB}=90^o, \widehat{MDC}=\widehat{MJC}=90^o$

$\to MDBI, MDCJ$ nội tiếp

Do $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{MID}=\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MCJ}=\widehat{MDJ}$

Tương tự $\widehat{MDI}=\widehat{MJD}$

$\to \Delta MID\sim\Delta MDJ(g.g)$

$\to \dfrac{MI}{MD}=\dfrac{MD}{MJ}$

$\to MI\cdot MJ=MD^2$

Gọi $AO\cap (O)=F, AO\cap BC=H$

$\to OD\ge OH$

$\to MD\le OM-OD\le OM-OH=OF-OH=FH$

$\to GTLN(MI\cdot MJ)=FH$ khi đó $M\equiv F$