Giải thích các bước giải:

Gọi $F$ là trung điểm $CE$

Ta có: $\Delta ABD,\Delta ACE$ vuông cân tại $A$

$\to \widehat{DAB}=\widehat{EAC}=90^o, AD=AB,AE=AC, \widehat{ABD}=\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=\widehat{ACE}=45^o$

Xét $\Delta ADC,\Delta ABE$ có:

$AD=AB,\widehat{DAC}=90^o+\widehat{BAC}=\widehat{BAE}, AC=AE$

$\to \Delta ADC=\Delta ABE(c.g.c)$

$\to CD=BE,\widehat{CDA}=\widehat{ABE}$

Gọi $CD\cap BE=I, CD\cap AB=G$

$\to \widehat{ADG}=\widehat{GBI}$ 

Vì $\widehat{DGA}=\widehat{BGI}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta ADG\sim\Delta IBG(g.g)$

$\to \widehat{GIB}=\widehat{DAG}=90^o$

$\to CD\perp BE$

Gọi $F$ là trung điểm $CE$

$\to FM,FN$ là đường trung bình $\Delta ECD,\Delta CBE$

$\to MF//CD, MF=\dfrac12CD, NF//BE, NF=\dfrac12BE$

Do $BE\perp CD, BE=CD\to MF\perp NF, MF=NF$

$\to \Delta FMN$ vuông cân tại $F$

Ta có:

$ \Delta ADG\sim\Delta IBG\to \dfrac{AG}{IG}=\dfrac{DG}{BG}\to \dfrac{AG}{DG}=\dfrac{IG}{BG}$

Lại có: $\widehat{AGI}=\widehat{DGB}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta AGI\sim\Delta DGB(c.g.c)$

$\to \widehat{AIG}=\widehat{GBD}=\widehat{ABD}=45^o$

$\to \widehat{AIG}=\widehat{NMF}$

Mà $MF//GC\to MN//AI$

Ta có: $\Delta DIE$ vuông tại $I$ vì $CD\perp BE, M$ là trung điểm $DE\to MI=MD=ME=\dfrac12DE$

Trên tia đối của tia $NA$ lấy điểm $K$ sao cho $NA=NK$

$\to AK=2AN$

Vì $N$ là trung điểm $BC\to ABKC$ là hình bình hành

$\to AB=CK,\widehat{ACK}=180^o-\widehat{BAC}=360^o-\widehat{DAB}-\widehat{EAC}-\widehat{BAC}=\widehat{DAE}$

Lại có: $AE=AC\to \Delta ADE=\Delta CKA(c.g.c)$

$\to DE=AK$

$\to 2IM=2AN\to IM=AN$

Ta có: $IM=AN,AI//MN\to AINM$ là hình thang cân