Giải thích các bước giải:

Gọi AH cắt BC tại K

a) Vì $CE \bot AB$ 

=> $\angle AEH = 90^\circ $

=> E, A, H thuộc đường tròn tâm I là trung điểm của AH

Vì BD, CE là đường cao tam giác ABC

=> H là trực tâm tam giác ABC 

=> $AH \bot BC$

=> $\angle AKB = 90^\circ $

Xét $\vartriangle AEH$ và $\vartriangle AKB$ có:

góc A chung, $\angle AEH = \angle AKB = 90^\circ $

=> $\vartriangle AEH \sim \vartriangle AKB$

=> $\angle EHA = \angle ABK$

Vì tam giác AEH vuông tại E, có I là trung điểm AH

=> EI=IH=1/2AH

=> tam giác EIH cân tại I

=> $\angle IEH = \angle IHE$

Tương tự: $\angle MEC = \angle MCE$

Vì tam giác BEC vuông tại E

=> $\angle EBC + \angle ECB = 90^\circ $

=> $\angle IEH + \angle MEC = 90^\circ $

hay $\angle IEM = 90^\circ $

=> $IE \bot EM$

=> EM là tiếp tuyến của đường tròn tâm I(đpcm) 

b) Ta có: EI=1/2AH

=> EI=3cm

Tương tự: EM=1/2BC=4cm

Vì $\angle IEM = 90^\circ $ nên theo Pytago ta có:

$IM = \sqrt {E{I^2} + E{M^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5cm$

Vậy IM=5cm