Giải thích các bước giải:

Ta có $M$ là trung điểm $BC$

$\to \vec{AB}+\vec{AC}=(\vec{AM}+\vec{MB})+(\vec{AM}+\vec{MC}=2\vec{AM}+(\vec{MB}+\vec{MC})=2\vec{AM}+0=2\vec{AM}$

Tương tự: $\vec{CA}+\vec{CB}=2\vec{CF}$

                 $\vec{BA}+\vec{BC}=2\vec{BN}$

$\to 2\vec{AM}+2\vec{CF}+2\vec{BN}= (\vec{AB}+\vec{AC})+(\vec{CA}+\vec{CB})+(\vec{BA}+\vec{BC})$

$\to 2(\vec{AM}+\vec{CF}+\vec{BN})=(\vec{AB}+\vec{BA})+(\vec{AC}+\vec{CA})+(\vec{CB}+\vec{BC})$

$\to 2(\vec{AM}+\vec{CF}+\vec{BN})=0$

$\to \vec{AM}+\vec{CF}+\vec{BN}=0$

Xét $ΔABC$:

$AM$ là trung tuyến ứng cạnh $BC$ (do $M$ là trung điểm $BC$)

$→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

$BN$ là trung tuyến ứng cạnh $AC$ (do $N$ là trung điểm $AC$)

$→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN}$

$CF$ là trung tuyến ứng cạnh $AB$ (do $F$ là trung điểm $AB$)

$→\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CF}$

Cộng các vế của các đẳng thức

$→(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})=2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CF})$

$↔\vec 0=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CF}$

Vậy ta có ĐPCM