Giải thích các bước giải:

a) Xét tứ giác AEHF có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = \widehat {EHF} = {90^0}\)

\( \Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông)

\( \Rightarrow AH = EF\) (2 đường chéo của HCN)

b) Áp dụng HTL trong tam giác vuông ABH, đường cao HE:

\(A{H^2} = AE.AB\).

Áp dụng HTL trong tam giác vuông ACH, đường cao HF:

\(A{H^2} = AF.AC\)

\( \Rightarrow AE.AB = AF.AC\).

c) Gọi I là giao điểm của OA và MN

Tam giác OAC có: \(OA = OC = R \Rightarrow \Delta OAC\) cân tại O.

\( \Rightarrow \widehat {OAC} = \widehat {OCA}\).

\( \Rightarrow \widehat {IAF} = \widehat {BCA}\) (1).

AEHF là HCN nên \(\widehat {AFE} = \widehat {AHE}\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {AHE} + \widehat {EHB} = {90^0}\\\widehat {HBE} + \widehat {HBE} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {HBE}\)  

\( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {HBE}\) hay \(\widehat {AFI} = \widehat {ABC}\) (2).

Lại có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {IAF} + \widehat {AFI} = {90^0} \Rightarrow \Delta AIF\) vuông tại I

\( \Rightarrow AI \bot IF\) hay \(OA \bot MN\) tại I.

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của MN (Quan hệ giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow OA\) là trung trực của MN.

Mà \(A \in OA \Rightarrow AM = AN\) (Tính chất trung trực) (Đpcm).