a) Ta có: $DE$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $(O')$ $(gt)$

$\Rightarrow OD//O'E \, (\perp DE)$

$\Rightarrow \widehat{AOD} + \widehat{AO'E} = 180^o$

Ta lại có: $OA = OD = R;\, O'A = O'E= R'$

$\Rightarrow ∆OAD$ cân tại $O$, $∆O'AE$ cân tại $O'$

$\Rightarrow \widehat{OAD} + \widehat{O'AE} = \dfrac{180^o - \widehat{AOD}}{2} + \widehat{180^o - \widehat{AO'E}}{2}$

$= \dfrac{360^o - (\widehat{AOD} + \widehat{AO'E})}{2} = \dfrac{360^o - 180^o}{2} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{DAE} = 90^o$

Mặt khác:

$\widehat{ADB} = 90^o$ (nhìn đường kính $AB$)

$\Rightarrow \widehat{ADK} = 90^o$

$\widehat{AEC} = 90^o$ (nhìn đường kính $AC$)

$\Rightarrow \widehat{AEK} = 90^o$

Xét tứ giác $ADKE$ có:

$\widehat{ADK} = \widehat{AEK} = \widehat{DAE} = 90^o$

Do đó $ADKE$ là hình chữ nhật

b) Ta có: $ADKE$ là hình chữ nhật (câu a)

$\Rightarrow \widehat{KAD} = \widehat{EDA}$

Ta lại có:

$\widehat{EDA} = \widehat{DBA}$ $\left(= \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AD}\right)$

$\widehat{DBA} +\widehat{DAB} = 90^o$

Do đó:

$\widehat{KAD} +\widehat{DAB} = 90^o$

$\Rightarrow KA\perp AB$

Chứng minh tương tự, ta được:

$KA\perp AC$

$\Rightarrow KA$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $(O')$

c) Ta có: $ADKE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{DKE} = \widehat{BKC} = 90^o$

Xét $∆BKC$ vuông tại $K$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow MK = MB = MC$

$\Rightarrow ∆MBK$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MKB} = \widehat{MBK} = \widehat{MBD}$

Mặt khác:

$\widehat{KDE} = \widehat{AKD}$ ($ADKE$ là hình chữ nhật)

$\widehat{AKD} = \widehat{DAB}$ (cùng phụ $\widehat{KAD}$)

$\Rightarrow \widehat{KDE} = \widehat{DAB}$

Do đó:

$\widehat{MKD} +\widehat{KDE}$

$= \widehat{MBD} + \widehat{DAB}$

$= \widehat{DBA} + \widehat{DAB} = 90^o$

$\Rightarrow MK\perp DE$