Lời giải:

a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt5$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAD)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (SAD) = SA\end{cases}\Rightarrow SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^o$

$\Rightarrow SA = AC\tan\widehat{SCA} = a\sqrt5.\tan60^o = a\sqrt{15}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.a.2a.a\sqrt{15} = \dfrac{2a^3\sqrt{15}}{3}$

b) Ta có: $S_{BOC} = \dfrac{1}{4}S_{ABCD}$

$\Rightarrow V_{S.BOC} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2a^3\sqrt{15}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{6}$

c) Từ $O$ kẻ $OM//CD$ cắt $AD$ tại $M$

Ta có: $OM//CD$ (cách dựng)

$\Rightarrow OM//(SCD)$

$\Rightarrow d(O;(SCD)) = d(M;(SCD))$

Mặt khác:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

Từ $A$ kẻ $AK\perp SD$

$\Rightarrow CD\perp AK$

$\Rightarrow AK\perp (SCD)$

$\Rightarrow AK = d(A;(SCD))$

Từ $M$ kẻ $MH\perp SD$

$\Rightarrow MH//AK$

$\Rightarrow MH\perp (SCD)$

$\Rightarrow MH= d(M;(SCD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AK = \dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^2 +AD^2}} = \dfrac{a\sqrt{15}.2a}{\sqrt{15a^2 + 4a^2}} = \dfrac{2a\sqrt{285}}{19}$

Bên cạnh đó:

$OM//CD//AB$

$OB = OD = \dfrac{1}{2}BD$

$\Rightarrow AM = MD$

mà $OH//AK$

$\Rightarrow OH = \dfrac{1}{2}AK = \dfrac{a\sqrt{285}}{19}$

Vậy $d(O;(SCD)) = \dfrac{a\sqrt{285}}{19}$