a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AB^2 = BH.BC$

$AC^2 = CH.BC$

$\Rightarrow \dfrac{AB^2}{AC^2} = \dfrac{BH.BC}{CH.BC} = \dfrac{BH}{CH}$

b) Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$

$\Rightarrow MA = MB = MC$

$\Rightarrow ΔMAC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{EAF}= \widehat{MCA}$

Ta lại có:

$\widehat{EAF} = \widehat{ABF} = \widehat{ABD}$ (cùng phụ $\widehat{EAB}$)

$\widehat{MCA} = \widehat{HAB} = \widehat{DAB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

Do đó $\widehat{ABD} =\widehat{DAB}$

$\Rightarrow ΔDAB$ cân tại $D$

$\Rightarrow DA = DB$

Chứng minh tương tự, ta được:

$DA = DF$

$\Rightarrow DB = DF$

$\Rightarrow D$ là trung điểm $BF$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$BE.BF = AB^2$

$BH.BC = AB^2$

$\Rightarrow BE.BF = BH.BC$

c) Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{120^2 + 160^2} = 200 \, cm$

$\Rightarrow DF = \dfrac{1}{2}BC = 100 \, cm$

Xét $ΔABF$ và $ΔACB$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{ABF} = \widehat{ACB}$ (chứng minh ở câu b)

Do đó $ΔABF \sim ΔACB \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$

$\Rightarrow AF = \dfrac{AB^2}{AC} = \dfrac{120^2}{160} = 90 \, cm$

Ta cũng được:

$\dfrac{BF}{BC} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Rightarrow BF = \dfrac{AB.BC}{AC} = \dfrac{200.120}{160} = 150 \, cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AF^2 = EF.BF$

$\Rightarrow EF = \dfrac{AF^2}{BF} = \dfrac{90^2}{150} = 54\, cm$

Do đó:

$DE = DF - EF = 100 - 54 = 46\, cm$