1.

a, Ta có: AB²+AC²= 6²+ 4,5²
                            = 36 + 20,25
                            = 56,25
                      BC²= 7,5²= 56,25 
⇒ AB²+AC² = BC² ⇒ΔABC vuông tại A

b, Vì ΔABC vuông tại A, áp dụng định lí 3, ta có: 
                 AB.AC = AH.BC
                  6 . 4,5= AH.7,5
                       27= AH.7.5
                  ⇒AH = 3,6 (cm)

Áp dụng định lí 1 vào ΔABC vuông tại A, ta có:
AB²= BH.BC
BH= $\frac{AB²}{BC}$
BH= $\frac{36}{7,5}$ 
BH= 4,8 (cm)

Áp dụng định lí 1 vào ΔABC vuông tại A, ta có:
AC² = CH. BC
CH= $\frac{AC²}{BC}$
CH= $\frac{20,25}{7,5}$ 
CH= 2,7 (cm)

Vì ΔABC vuông tại A, áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có: 
sinB= $\frac{AC}{BH}$ = $\frac{4,5}{7,5}$ ⇒ góc B= 37 độ
Ta có góc B + góc C = 90 độ (do ΔABC vuông tại A)
⇒ Góc C = 90 độ - B = 90độ-37độ=53 độ

c, Phần này mình chịu

2. 

a, Áp dụng định lí Py-ta-go vào ΔABC vuông tại A, ta có:
          BC²=AB²+ AC²
          BC²=36+ 64
          BC²=100
       ⇒BC=10 (cm)

Vì ΔABC vuông tại A, áp dụng định lí 3, ta có: 
AB.AC = AH.BC
     6.8 = AH. 10
      48 = AH.10
⇒AH= 4.8 (cm)

Áp dụng định lí 1 vào ΔABC vuông tại A, ta có:
AB²= BH.BC
36 = BH.10
⇒BH=3,6 (cm)

Áp dụng định lí 1 vào ΔABC vuông tại A, ta có:
AC²=CH.BC
64= CH.10
⇒CH=6,4 (cm)

b, 

Áp dụng định lí 1 vào ΔAHB vuông tại H, ta có:
AH²=AM.AB
Áp dụng định lí 1 vào ΔAHC vuông tại H, ta có:
AH²=AN.AC
⇒ AM.AB=AN.AC (vì cùng = AH²) ⇒ đpcm

c, Xét tứ giác AMHN có: góc A= góc M= góc N= 90 độ (Gt)
⇒tứ giác AMHN là hình chữ nhật
⇒ MN= AH mà AH= 4,8 cm ⇒ MN=4,8 (cm)