`a)`

`(m-1)x^2 - 4mx + 4m - 1 =0(1)`

`\Delta' = (-2m)^2 - (m-1)(4m-1) = 4m^2 - 4m^2 + m + 4m - 1 = 5m - 1`

`***)` Nếu `m-1=0<=>m=1` thì phương trình `(1)` trở thành :

`-4mx + 4m - 1 = 0`

Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất `<=> 4m-1 \ne0`

`<=> 4m\ne 1`

`<=> m\ne 1/4`

`***)` Nếu `m-1 \ne 0 <=> m \ne 1` thì phương trình có nghiệm duy nhất `<=> \Delta'= 0`

`<=> 5m-1=0`

`<=>5m=1`

`<=>m=1/5`

Vậy nếu `m=1` thì phương trình có nghiệm duy nhất `<=> m \ne 1/4`

      nếu `m\ne1` thì phương trình có nghiệm duy nhất `<=>m=1/5`

`b)`

Phương trình `(1)` có hai nghiệm `<=> \Delta' \ge0`

`<=> 5m-1 \ge 0`

`<=> 5m \ge 1`

`<=> m\ge 1/5`

Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có :

`{(x_1 + x_2 = (4m)/(m-1)),(x_1 . x_2 = (4m-1)/(m-1)):}`

Ta có :

`x_1^2 + x_2^2 = 1`

`<=> (x_1 + x_2)^2 - 2 x_1 x_2 = 1`

`=>  ( (4m)/(m-1))^2-  2 . ( (4m-1)/(m-1)) = 1`

`<=> (16m^2)/( (m-1)^2) - (8m -2)/((m-1)) = 1`

`=> 16m^2 - (8m-2)(m-1) = (m-1)^2`

`<=> 16m^2 - 8m^2 + 8m + 2m - 2 = m^2-2m+1`

`<=> 8m^2 + 10m - 2 - m^2 + 2m - 1 =0`

`<=> 7m^2 + 12m - 3 =0`

`\Delta' = 6^2 - 7 . (-3) = 36 + 21 = 57>0`

`=>` Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

`m_1 = (-6 - \sqrt{57})/7` (không thỏa mãn)

`m_2 = (-6 +  \sqrt{57})/7` (thỏa mãn)

Vậy `m=(-6+\sqrt{57})/7` là giá trị cần tìm.

Đáp án:a)m=1

b) m=\frac{-6+\sqrt{57}}{7}

Giải thích các bước giải:

 (m-1)$^{2}$ - 4mx + 4m - 1 = 0

có a = m-1; b= -4m ; c = 4m-1; b’=-2m

a)Để phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất thì a=0<=>m-1=0<=>m=1

Khi đó phương trình ban đầu trở thành

-4x + 3 =0 (TM phương trình có nghiệm duy nhất)

=> m = 1 (TM)

b) Từ phương trình ban đầu, ta có:

Δ‘= (-2m)²-(m-1)(4m-1)

=4m²-(4m²-5m+1)

=5m-1

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm $x_{1}$ ,$x_{2}$ thì Δ’≥0<=>5m-1≥0

<=>5m≥1

<=>m≥$\frac{1}{5}$ 

Khi đó, với $x_{1}$ , $x_{2}$ là nghiệm của phương trình ban đầu, theo Định lí Vi-ét ta có: $\left \{ {{x_{1}+x_{2}=\frac{4m}{m-1}} \atop {x_{1}x_{2}=}\frac{4m-1}{m-1}} \right.$  

Theo yêu cầu bài toán: $x_{1}^{2}$ + $x_{2}^{2}$ =1

<=>$x_{1}^{2}$ +2$x_{1}$$x_{2}$ +$x_{2}^{2}$ -2$x_{1}$$x_{2}$ =1

<=>$(x_{1}+x_{2})^{2}$ -2$x_{1}$$x_{2}$ =1

<=>$(\frac{4m}{m-1})^{2}$ - 2$\frac{4m-1}{m-1}$ -1=0

<=>(m$\frac{16m^{2}}{(m-1)^{2}}$ - 2$\frac{(4m-1)(m-1)}{(m-1)^{2}}$ - $\frac{(m-1)^{2}}{(m-1)^{2}}$ =0

<=>16m²-2(4m²-5m+1)-(m²-2m+1)=0

<=> 7m²+12m-3=0

<=>\(\left[ \begin{array}{l}m=\frac{-6-\sqrt{57}} {7}\\m=\frac{-6+\sqrt{57}}{7}(TM)\end{array} \right.\)