`a)` Xét `\Delta AMB` vuông tại `M` và `\Delta AMC` vuông tại `M` `(AM bot BC)` 

Ta có:

`AB=AC` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

`hat\{ABM}=hat\{AMC}` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

Vậy `\Delta AMB= \Delta AMC` `(H-g)`

Xét `\Delta BHA` vuông tại `H` (`BH bot AC` tại `H`) và `\Delta CKA` vuông tại `K` (`CK bot AB` tại `K`) ta có:

`AB=AC` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

`hat\{A}` là góc chung

Vậy `\Delta BHA=\Delta CKA` `(H-g)`

`b)` Ta có:

`BH bot AC` tại `H`

`CK bot AB` tại `K`

Vậy `BH` và `CK` đều là đường cao của tam giác `ABC`

Mà `Q` là giao điểm của `BH` và `CK` nên `Q` là trực tâm của `\Delta ABC`

Mà `AM bot BC` tại `M` nên `AM` cũng là đường cao của `\Delta ABC`

Nên `AM,BH,CK` cắt nhau tại `Q`

`=>Q in AM`

Ta có: `\Delta AMB= \Delta AMC` `(\text{chứng minh trên})`

`=>hat\{AMB}=hat\{AMC}` (hai góc tương ứng bằng nhau)

`=>AM` là tia phân giác của `hat\{BAC}`

`=>AQ` là tia phân giác của `hat\{BAC}` `(Q in AM =>A,M,C` thẳng hàng`)`

Xét `\Delta AQB` và `\Delta AQC` ta có:

`AB=AC` (`\Delta ABC` cân tại `A`)

`hat\{AQB}=hat\{AQC}` (`AQ` là tia phân giác của `hat\{BAC}`)

`AQ` là cạnh chung

Vậy `\Delta AQB= \Delta AQC` `(c-g-c)`

`=>QB=QC` (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

`=>\Delta QBC` là tam giác cân tại `Q`

`c)` Khi `BCD` là tam giác đều thì `D in AM`

Xét `\Delta ABC` cân tại `A` ta có:
`hat\{A}+hat\{B}+hat\{C}=180^o`
`=>20^o + hat\{C}+hat\{C}=180^o`
`=>2.hat\{C}=180^o -20^o=160^o`
`=>hat\{ACB}=160^o :2=80^o`

`=>hat{ACB}=80^o`

Vì `\Delta BCD` là tam giác đều nên:

`hat{CBD}=hat{BDC}=hat{BCD}=60^o`

Ta có:

`hat{ABD}+hat{CBD}=hat{ABC}`

`hat{ABD}+60^o=80^o`

`=>hat{ABD}=80^o-60^o=20^o`

Vì `AM` là tia phân giác của `hat{BAC}` `(text{chứng minh trên})`

`=>hat{BAD}=1/2. hat{BAC}=1/2 . 20^o=10^o`

Vì `BE` là tia phân giác góc `ABD` nên:

`hat{ABE}=1/2. hat{ABD}=1/2 .20^o=10^o`

Xét `\Delta AEB` và `\Delta BDA` ta có:

`hat{BAD}=hat{ABE}=10^o` `( \text{chứng minh trên})`

`AB` là canhn chung

`hat{BAE}=hat{ABE}=20^o`

Vậy `\Delta AEB= \Delta BDA` `(c-g-c)`

`=>AE=BD` (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Mà `BD=BC` ( `\Delta BCD` là tam giác cân)

Nên `AE=BC`

Ta có:

`MS//BH` `(GT)`

Mà `hat\{ABH}=90^o` (`BH bot AC` tại `H`)

`=>hat\{MSC}=90^o`

Xét `\DeltaAMC` vuông tại `M` ta có:

`hat\{AMC}+hat\{MAC}+hat\{ACM}=180^o`

`90^o+ 10^o+hat\{ACM}=180^o`

`100^o +hat\{ACM}=180^o`

`hat\{ACM}=180^o -100^o=80^o`

Xét `\Delta MCS` vuông tại `S` và `\Delta MCA` vuông tại `M` ta có:

`hat\{ACM}=hat\{MSC}`

`hat\{ACM}=hat\{SCM}=80^o` `(\text{chứng minh trên})`

Vậy $\Delta MSC \backsim \Delta MCA$`=>{CM}/{CS}={CA}/{CM}=>CM.CM=CS.CA=>MC^2=CS.CA`