Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$\to$Tâm đường tròn là trung điểm $AO$ và bán kính là $\dfrac12AO$

2.Xét $\Delta ABM,\Delta ABN$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ABM\sim\Delta ANB(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}$

$\to AB^2=AM\cdot AN$

3.Vì $MA, MB$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$

Ta có: $FN$ là tiếp tuyến của $(O)\to FN\perp ON$

$\to \widehat{FHO}=\widehat{FNO}=90^o$

$\to F, H, O, N$ cùng thuộc một đường tròn (1)

Ta có: $\Delta ABO$ vuông tại $B, BH\perp AO\to AB^2=AH\cdot AO$

$\to AM\cdot AN=AH\cdot AO$

$\to \dfrac{AM}{AH}=\dfrac{AO}{AN}$

Do $\widehat{MAO}=\widehat{NAH}$

$\to \Delta AMO\sim\Delta AHN(c.g.c)$

$\to \widehat{AOM}=\widehat{ANH}\to \widehat{HOM}=\widehat{HNM}$

$\to MHON$ nội tiếp

$\to M, H, O, N$ cùng thuộc một đường tròn (2)

Từ $(1), (2)$

$\to M, H, O, N, F$ cùng thuộc một đường tròn 

4.Gọi $PO\cap (OMN)=E'$

Xét $\Delta PMH,\Delta PFN$ có:

$\widehat{MPH}=\widehat{FPN}$(đối đỉnh)

$\widehat{PHM}=\widehat{FHM}=\widehat{FNM}=\widehat{FNP}$

$\to \Delta PMH\sim\Delta PFN(g.g)$

$\to \dfrac{PM}{PF}=\dfrac{PH}{PN}$

$\to PM\cdot PN=PF\cdot PH$

Ta có điều sau: Cho tứ giác nội tiếp $FMHN$ có $MN\cap FH=P$

$\to PM\cdot PM=PF\cdot PH$

Tương tự chứng minh được $PM\cdot PN=PO\cdot PE'$

$\to PE'\cdot PO=PH\cdot PF$

Ta có: $\widehat{FMO}=\widehat{FHO}=90^o\to FM\perp MO\to FM$ là tiếp tuyến của $(O)$

Gọi $FO\cap MN=D$

Do $FM, FN$ là tiếp tuyến của $(O)\to FO\perp MN=D$

$\to \widehat{ADO}=90^o\to D\in (ABOC)$

Mặt khác $\to \widehat{FDP}=\widehat{AHP}=90^o\to AHDF$ nội tiếp

$\to PF\cdot PH=PD\cdot PA$

$\to PE'\cdot PO=PD\cdot PA$

$\to \dfrac{PE'}{PD}=\dfrac{PA}{PO}$

Do $\widehat{DPO}=\widehat{APE'}$

$\to \Delta PDO\sim\Delta PE'A(c.g.c)$

$\to \widehat{PE'A}=\widehat{PDO}$

$\to\widehat{AE'O}=\widehat{ADO}$

$\to AE'DO$ nội tiếp

$\to E'\in (ADO)\to E'\in (ABOC)$

$\to E'=(OMN)\cap (OBAC)$

$\to E\equiv E'$

$\to O, P, E$ thẳng hàng