Đáp án:

a) Xét tam giác ABO vuông tại B

=> A,B,O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

Tương tự A,C,O thuộc đường tròn đk AO

=> A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AO

b) Gọi M là giao của AO và BC

Tam giác OBC cân tại O có OM là phân giác đồng thời trung tuyến và đường cao

=> AO vuông góc BC tại M

=> M là trung điểm của BC => BM = 12 cm

Tam giác ABO vuông tại B có BM là đường cao

Ta có:

$\begin{array}{l}
\frac{1}{{B{M^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{O^2}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{12}^2}}} - \frac{1}{{{{15}^2}}} = \frac{1}{{400}}\\
 \Rightarrow AB = 20\left( {cm} \right)
\end{array}$

c) BH vuông góc CD; AC vuông góc CD

=> BH // AC

=> góc ACB = góc CBH (so le trong)

Mà góc ACB = góc ABC

=> góc ABC = góc CBH

=> BC là tia phân giác của góc ABH

d) Gọi AC căt BD tại E

Xét tam giác DEC có AO // ED ( do AO // BD)

Lại có O là trung điểm của CD

=> A là trung điểm của CE

=> AE = AC

Ta có BI// AE và IH // AC

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{BI}}{{AE}} = \frac{{IH}}{{AC}} = \frac{{DI}}{{DA}}\\
 \Rightarrow BI = IH
\end{array}$