Giải thích các bước giải:

a, Ax và CD là 2 tiếp tuyến của (O;R), cắt nhau tại C

    By và CD là 2 tiếp tuyến của (O;R), cắt nhau tại D

    Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

    * CA = CM và DB = DM

    ⇒ AC + BD = CM + DM = CD (đpcm)

    * $\widehat{AOC}$ = $\widehat{MOC}$, $\widehat{BOD}$ = $\widehat{MOD}$

    mà $\widehat{AOC}$ + $\widehat{MOC}$ + $\widehat{BOD}$ + $\widehat{MOD}$ = $180^{o}$

    ⇒ $\widehat{MOC}$ + $\widehat{MOD}$ = $\frac{1}{2}$.$180^{o}$ = $90^{o}$

    ⇒ $\widehat{COD}$ = $90^{o}$

    ⇒ ΔCOD vuông tại O (đpcm)

b, CA = CM và DB = DM

    ⇒ AC.BD = CM.DM
    ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao, áp dụng hệ thức lượng ta có:

    ⇒ CM.DM = $OM^{2}$ = $R^{2}$ 

    ⇒ AC.BD = $R^{2}$ (đpcm)

c, AM = R, AB = 2R

    ΔAMB vuông tại M (do nội tiếp đường tròn đường kính AB)

    ⇒ BM = $\sqrt[]{AB^{2}-AM^{2}}$ = $\sqrt[]{(2R)^{2}-R^{2}}$ = R$\sqrt[]{3}$ 

    Gọi E = OD ∩ BM

    Vì DB= DM và OB = OM ⇒ OD là trung trực của BM

    ⇒ OD ⊥ BM tại E là trung điểm của BM ⇒ BE = EM = $\frac{BM}{2}$ = $\frac{R\sqrt[]{3}}{2}$ 

    ΔOBE vuông tại E ⇒ OE = $\sqrt[]{OB^{2}-BE^{2}}$ = $\sqrt[]{R^{2}-(\frac{R\sqrt[]{3}}{2})^{2}}$ = $\frac{R}{2}$

    ΔOBD vuông tại B có BE là đường cao 

    ⇒ $BE^{2}$ = OE.ED ⇔ $(\frac{R\sqrt[]{3}}{2})^{2}$ = $\frac{R}{2}$.ED

    ⇒ ED = $\frac{3R}{2}$

    ⇒ $S_{BDM}$ = $\frac{1}{2}$.ED.BM = $\frac{1}{2}$.$\frac{3R}{2}$.R$\sqrt[]{3}$ = $\frac{3\sqrt[]{3}}{4}$$R^{2}$ (đvdt)

d, AC ║ BD (cùng ⊥ AB) ⇒ $\frac{AN}{ND}$ = $\frac{CN}{NB}$ = $\frac{AC}{BD}$ 

    mà AC = CM, BD = DM

    ⇒ $\frac{CN}{NB}$ = $\frac{CM}{DM}$ 

    ⇒ MN ║ BD ⇒ MN ║ AC (đpcm)

e, Gọi I là trung điểm của CD

    Tứ giác ACDB có AC ║ DB nên là hình thang

    Hình thang ACDB có O là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD

    ⇒ OI là đường trung bình ⇒ OI ║ AC ║ BD ⇒ OI ⊥ AB

    AB tiếp xúc với đường tròn tâm I đường kính CD tại O và AB ⊥ OI

    ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD (đpcm)