Đáp án:

 A>0

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.A = 2{x^2} + 8x + 17 = 2{x^2} + 2.x\sqrt 2 .2\sqrt 2  + 8 + 9\\
 = {\left( {x\sqrt 2  + 2\sqrt 2 } \right)^2} + 9\\
Do:{\left( {x\sqrt 2  + 2\sqrt 2 } \right)^2} \ge 0\forall x \in R\\
 \to {\left( {x\sqrt 2  + 2\sqrt 2 } \right)^2} + 9 > 0\\
 \to A > 0\\
b.B = 2{x^2} + 5x + 10 = 2{x^2} + 2.x\sqrt 2 .\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }} + {\left( {\dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{55}}{8}\\
 = {\left( {x\sqrt 2  + \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{55}}{8}\\
Do:{\left( {x\sqrt 2  + \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} \ge 0\forall x \in R\\
 \to {\left( {x\sqrt 2  + \dfrac{5}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{{55}}{8} > 0\\
 \to B > 0
\end{array}\)

`a)` `2x^2+8x+17` `(1)`

`=2(x^2+4x+17/2)`

`=2(x^2+4x+4+9/2)`

`=2[(x^2+4x+4)+9/2]`

`=2(x+2)^2+9`

Ta có `2(x+2)^2\geq0∀x∈RR`

`=>2(x+2)^2+9\geq9>0∀x∈RR`  `(2)`

Vậy `(2)` luôn đúng thì `(1)` luôn đúng.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

`b)` `2x^2+5x+10` `(3)`

`=2(x^2+5/2x+5)`

`=2[x^2+2.frac{5}{4}x+(5/4)^2-(5/4)^2+5]`

`=2[(x^2+2.frac{5}{4}x+25/16)+55/16]`

`=2[(x+5/4)^2+55/16]`

`=2(x+5/4)^2+55/8`

Do `2(x+5/4)^2\geq0∀x∈RR`

`=>2(x+5/4)^2+55/8\geq55/8>0∀x∈RR` `(4)`

Vậy `(4)` luôn đúng thì `(3)` luôn đúng.

Vậy đẳng thức được chứng minh.