a) Ta có: $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$

$\Rightarrow CA = CM$

mà $OA = OM$

$\Rightarrow OC$ là trung trực của $AM$

$\Rightarrow \widehat{COA} = \widehat{COM} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{DOB} = \widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$

Do đó:

$\widehat{COD} = \widehat{COM} + \widehat{DOM} = \dfrac{1}{2}(\widehat{AOM} + \widehat{BOM} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = \dfrac{1}{2}.180^o = 90^o$

b) Ta có: $\widehat{COD} = 90^o$ (câu a)

$\Rightarrow ΔCOD$ vuông tại $O$

Gọi $E$ là trung điểm cạnh huyền $CD$

$\Rightarrow EC = ED = EO = \dfrac{CD}{2}$

$\Rightarrow ΔCOD$ nội tiếp $(E;EO)$ đường kính $CD$ $(1)$

Xét tứ giác $ABDC$ có:

$AC\perp AB \, (gt)$

$BD\perp AB \, (gt)$

$\Rightarrow ABDC$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$

Ta lại có: $ED = EC$

$OA = OB = R$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình của hình thang

$\Rightarrow EO//AC//BD$

$\Rightarrow EO\perp AB$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$

c) Ta có: $AC//BD \, (\perp AB)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{IC}{IB} = \dfrac{AC}{BD}$

Ta lại có: $AC = CM; \, BD = DM$

$\Rightarrow \dfrac{IC}{IB} = \dfrac{MC}{MD}$

$\Rightarrow MI//BD$ (Theo đính lý $Thales$ đảo)

mà $BD\perp AB$

nên $MI\perp AB$