Bài 1:

Gọi $M, H$ lần lượt là trung điểm $AB, BC$

$\Rightarrow AH\perp BC$

Ta được:

$AM = MB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{40}{2} = 20\, cm$

$BH = HC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{48}{2} = 24\, cm$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$AB^2 = AH^2 + BH^2$

$\Rightarrow AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = 32\, cm$

Từ $M$ kẻ đường trung trực của $AB$ cắt $AH$ tại $O$

$\Rightarrow ∆ABC$ nội tiếp $(O;OA)$

Ta có:

$∆AMO\sim ∆AHB\,(g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{AH} = \dfrac{AO}{AB}$

$\Rightarrow OA = \dfrac{AM.AB}{AH} = \dfrac{20.40}{32} = 25\, cm$

Vậy $R = 25\, cm$

Bài 2:

a) Ta có: $I$ là trung điểm dây cung $AB$ $(gt)$

$\Rightarrow OI\perp AB$

Xét $∆OAB$ cân tại $O$ $(OA = OB = R)$

có $OI\perp AB$

$\Rightarrow OI$ là phân giác của $\widehat{AOB}$

$\Rightarrow \widehat{AOI} = \widehat{BOI} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = 60^o$

$\Rightarrow AI = OA\sin60^o = \dfrac{R\sqrt3}{2}; \, OI = OA\cos60^o = \dfrac{R}{2}$

$\Rightarrow AB = 2AI = R\sqrt3$

b) Ta có: $OI = \dfrac{R}{2}$

$\Rightarrow OI = IC = \dfrac{OC}{2}$

Xét tứ giác $AOBC$ có:

$IA = IB$

$IO = IC$

$OC\perp AB$

Do đó $AOBC$ là hình thoi

$\Rightarrow S_{AOBC} = 4S_{AOI} =4.\dfrac{1}{2}AI.OI = 2.\dfrac{R\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{R}{2} = \dfrac{R^2\sqrt3}{2}$

Bài 3:

Do $∆ABC$ đều

nên $O\equiv G$ với $G$ là trọng tâm

Gọi $H$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AH\perp BC$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{AB\sqrt3}{3}$

$\Rightarrow AB = AO\sqrt3 = R\sqrt3$

$\Rightarrow AH = \dfrac{3R}{2}$