Giải thích các bước giải:

$\begin{array}{l}
1)\sqrt {x + 3 + 4\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x + 8 - 6\sqrt {x - 1} }  = 5\left( {DK:x \ge 1} \right)\\
 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 1} \right) + 4\sqrt {x - 1}  + 4}  + \sqrt {\left( {x - 1} \right) - 6\sqrt {x - 1}  + 9}  = 5\\
 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 3} \right)}^2}}  = 5\\
 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  - 3} \right| = 5\\
 \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {3 - \sqrt {x - 1} } \right| = 5\left( 1 \right)
\end{array}$

Mà $\left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {3 - \sqrt {x - 1} } \right| \ge \left| {\sqrt {x - 1}  + 2 + 3 - \sqrt {x - 1} } \right| = 5\left( 2 \right)$

Từ (1),(2) suy ra dấu bằng xảy ra:

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)\left( {3 - \sqrt {x - 1} } \right) \ge 0\\
 \Leftrightarrow 3 - \sqrt {x - 1}  \ge 0\\
 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1}  \le 3\\
 \Leftrightarrow x - 1 \le 9\\
 \Leftrightarrow x \le 10
\end{array}$

Kết hợp với ĐKXĐ ta có: $1 \le x \le 10$

Vậy $1 \le x \le 10$ là nghiệm của phương trình.

2) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AH \bot BC = H\\
 \Rightarrow HB.HC = A{H^2}\left( 1 \right)\\
\Delta AHB;\widehat H = {90^0};HE \bot AB = E\\
 \Rightarrow AE.AB = A{H^2}\left( 2 \right)\\
\Delta AHC;\widehat H = {90^0};HF \bot AC = F\\
 \Rightarrow AF.AC = A{H^2}\left( 3 \right)\\
\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow AE.AB = AF.AC = HB.HC
\end{array}$