Đáp án:

Giải thích các bước giải: Tham khảo

Gọi $M; N $ theo thứ tự là trung điểm $BP; AB$

Gọi $ R = PQ∩(O') ⇒ O'R = O'Q = OP $

Vì $OP//=O'Q ⇒ OO'QP$ là hbh $ ⇒ OPRO'$ là hình thang cân

$ ⇒ ∠POO' = ∠RO'O ⇒ ∠POB = ∠RO'B$ 

$ ⇒ Δ$ cân $ BOP = Δ$ cân $BO'R ⇒ BP = BR ⇒ ΔBPR$ cân tại $B$

$ BA⊥OO'$ mà $OO'//PQ ⇒ BA⊥PQ (1)$

$ ⇒ BA $ là tia phân giác $∠PBR$

Mặt khác $∠ONB = ∠OMB = 90^{0}$

$ ⇒ Δ$ vuông $OMS≈ Δ$ vuông $BNS$ ( chung góc $S$ đối đỉnh)

$ ⇒ ∠NOM = ∠NBM = ∠NBR = ∠ABR = ∠AQR$

Mà $QR//ON ⇒ QA//OM ⇒ QA⊥BP (2)$

$ (1); (2) ⇒ A$ là trực tâm $ΔBPQ (đpcm)$

Và do đó $B$ là trực tâm $ΔAPQ$

Ta có: $OP//O'Q; \, OP=O'Q = R \, (gt)$

$\Rightarrow OO'QP$ là hình bình hành

$\Rightarrow OO'//PQ$

Ta lại có: $AB\perp OO'$

$\Rightarrow AB\perp PQ$ $(*)$

Qua $O$ kẻ đường thẳng $d\perp BP$

Trên $d$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = BO$

Ta có:

$∆OBP$ cân tại $O$ $(OB = OP = R)$

có $OE\perp BP$

$\Rightarrow OE$ là trung trực của $BP$

$\Rightarrow EB = EP$

$\Rightarrow EB = EP = OB = OP$

$\Rightarrow OBEP$ là hình thoi

$\Rightarrow \widehat{BOE} = \widehat{POE} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOP} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{BP} = sđ\overparen{BAP}$ $(1)$

Xét tứ giác $O'BEQ$ có:

$O'Q//BE \, (//OP)$

$O'Q = BE \, (=OP)$

Do đó $O'BEQ$ là hình bình hành

mà $O'B = O'Q = R$

nên $O'BEQ$ là hình thoi

$\Rightarrow O'B \mathop{=}\limits^{//} EQ$

Ta lại có:

$OAO'B$ là hình thoi $(OA = O'A = OB = O'B = R)$

$\Rightarrow OA \mathop{=}\limits^{//} O'B$

Do đó $OA \mathop{=}\limits^{//} EQ$

$\Rightarrow OAQE$ là hình bình hình

$\Rightarrow OE = AQ$

Xét $∆OBE$ và $∆AO'Q$ có:

$OB = AO' = BE = O'Q = R$

$OE = AO \, (cmt)$

Do đó $∆OBE= ∆AO'Q\, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{BOE} = \widehat{O'AQ}$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow \widehat{BAP} = \widehat{O'AQ}$

$\Rightarrow\widehat{BAP} + \widehat{BAQ} = \widehat{O'AQ} + \widehat{BAQ}$

$\Rightarrow \widehat{PAQ} = \widehat{O'AB}$

Mặt khác: $\widehat{O'AB} + \widehat{AO'O} = 90^o$

$\widehat{AO'O} = \dfrac{1}{2}\widehat{AO'B} = \dfrac{1}{2}sđ\overparen{AB} = \widehat{AQB}$

$\Rightarrow \widehat{O'AB} + \widehat{AQB} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{BAP} + \widehat{AQB} = 90^o$

$\Rightarrow BQ \perp AP$ $(**)$

$(*)(**)\Rightarrow A$ là trực tâm của $∆BPQ$

$\Rightarrow B$ là trực tâm của $∆APQ$