Kẻ đường cao $AK \, (K\in CD)$

$\Rightarrow ABHK$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AB= HK; \, KD = HC$

Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $CD$ tại $E$

$\Rightarrow ABEC$ là hình bình hành

$\Rightarrow AB = CE$

$\Rightarrow HK = CE$

$\Rightarrow HK + KD = CE + HC$

$\Rightarrow HD = HE$

$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $DE$

Ta lại có:

$BH = \dfrac{AB + CD}{2} = \dfrac{CE + CD}{2} = \dfrac{DE}{2}$

Do đó $∆BDE$ vuông tại $B$

$\Rightarrow BE\perp BD$

$\Rightarrow AC\perp BD$

Không chắc lắm bạn tham khảo thoi nhaa

Kẻ BK // AC (1)

Xét tứ giác ABKC có

AB // KC (K thuộc DC) AC // BK

`=>` Tứ giác ABKC là hbh

`=>` AB = KC và AC = BK

Mà AC = BD (ABCD là htc)

`=>` BK = BD

`=>` ∆BKC cân tại B

`=>` BH là đường cao đồng thời là trung tuyến

`=> DH = KH= DK/2`

Có `BH = (AB+CD)/2` (gt)

`=> BH = (KC+CD)/2 =(DK)/2`

Do đó BH = DH

`=>` ∆BDH vuông cân tại H , ∆BKH vuông cân tại H

`=> hat{DBK}=hat{DBH}+hat{KBH}=45°+45°=90°`

`=>` BD vuông góc vs KB (2) Từ (1) và (2)

`=>` BD vuông góc vs AC