a)

Ta có $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to HM\bot AB$ và $HN\bot AC$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có đường cao $HM$

$\Rightarrow A{{H}^{2}}=AM.AB$ (hệ thức lượng)

Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ có đường cao $HN$

$\Rightarrow A{{H}^{2}}=AN.AC$ (hệ thức lượng)

Vậy $AM.AB=AN.AC$

b)

Vì $AM.AB=AN.AC$

Nên $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$, ta có:

+   $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

Nên $\Delta AMN\backsim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$

Vậy $BMNC$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

c)

Tứ giác $AMHN$ có $\widehat{AMH}=\widehat{ANH}=\widehat{MAN}=90{}^\circ $

Nên $AMHN$ là hình chữ nhật

Có $O$ là trung điểm $AH$

Do đó $O$ cũng là trung điểm $MN$

Vậy 3 điểm $M,O,N$ thẳng hàng

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ với trung tuyến $AI$

$\Rightarrow AI=BI=CI=\dfrac{BC}{2}$

$\Rightarrow \Delta IAB$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{IBA}$

Mà $\widehat{AMN}=\widehat{ACB}$ (cmt)

$\Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{AMN}=\widehat{IBA}+\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{IBA}+\widehat{ACB}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{IAB}+\widehat{AMN}=90{}^\circ $

Vậy $AI\bot MN$ tại $D$

Xét $\Delta ADO$ và $\Delta AHI$, ta có:

+   $\widehat{DAO}$ là góc chung

+   $\widehat{ADO}=\widehat{AHI}=90{}^\circ $

Nên $\Delta ADO\backsim\Delta AHI\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AO}{AI}$

$\Rightarrow AI.AD=AO.AH$

$\Rightarrow \left( 2AI \right).AD=\left( 2AO \right).AH$

$\Rightarrow BC.AD=AH.AH$

$\Rightarrow BC.AD=A{{H}^{2}}$

Mà $\begin{cases}BC=HB+HC\\AH^2=HB.HC\end{cases}$

Nên $\left( HB+HC \right).AD=HB.HC$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AD}=\dfrac{HB+HC}{HB.HC}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{HB}+\dfrac{1}{HC}$