e)

$y=\dfrac{2x^2+5x+4}{x+2}$

TXĐ: $D=\mathbb R\backslash\{-2\}$

$y'=\dfrac{(4x+5)(x+2)-(2x^2+5x+4)}{(x+2)^2}=\dfrac{2x^2+8x+6}{(x+2)^2}=0$

$\Leftrightarrow x=-3$ hoặc $x=-1$

Ta có bảng biến thiên như hình vẽ

Từ bảng biến thiên ta thấy trên $(-2;+\infty)$,

GTNN$y=y(-1)=1$ và không có GTLN.

f)

$y=\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$

TXĐ: $D=\mathbb R$

$y'=\dfrac{\sqrt{x^2+1}-(x+1)\dfrac{x+1}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}$

$=\dfrac{1-x}{\sqrt{x^2+1}(x^2+1)}=0\Leftrightarrow x=1$

Ta có bảng biến thiên như hình vẽ

Từ bảng biến thiên ta có GTLN$y=y(1)=\dfrac{2}{\sqrt2}$ và không có GTNN.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

e) $TXĐ : D = (- 2; + ∞)$

$ y' = \dfrac{(4x + 5)(x + 2) - (2x² + 5x + 4)}{(x + 2)²}$ 

$ = \dfrac{2(x² + 4x + 3)}{(x + 2)²} = \dfrac{2(x + 1)(x + 3)}{(x + 2)²}$

Vì $ x > - 2 ⇒ x + 3 > 0 $ nên

$ y' > 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > -1$

$ y' = 0 ⇔ x + 1 = 0 x = - 1$

$ y' < 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ - 2 < x < - 1$

$ ⇒ y_{min} = 1 ⇔ x = - 1$

Mặt khác :

$ \lim_{x \to - 2^{+}} y = \lim_{x \to - 2^{+}} \dfrac{2x² + 5x + 4}{x + 2} = + ∞$ 

$ \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x² + 5x + 4}{x + 2} = + ∞$

Vậy $GTNN$ của $y = y_{min} = 1$ tại $ x = - 1$

Hàm số không có $GTLN$ trên khoảng $( - 2: + ∞)$

f) $ y = \dfrac{x + 1}{\sqrt[]{x² + 1}}$ Tập xác định $ D = R$

$y' = \dfrac{\sqrt[]{x² + 1} - \dfrac{x(x + 1)}{\sqrt[]{x² + 1}}}{\sqrt[]{x² + 1}} =  \dfrac{1 - x}{\sqrt[]{(x² + 1)³}}$

$ y' > 0 ⇔ 1 - x > 0 ⇔ x < 1$

$ y' = 0 ⇔ 1 - x = 0 ⇔ x = 1$

$ y' < 0 ⇔ 1 - x < 0 ⇔ x > 1$

$ ⇒ y_{max} = \sqrt[]{2} ⇔ x = 1$ 

Mặt khác :

$ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x + 1}{\sqrt[]{x² + 1}} = \lim_{x \to -\infty} [- \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{\sqrt[]{1 + \dfrac{1}{x²}}}] = - 1$

$ \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{\sqrt[]{x² + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{\sqrt[]{1 + \dfrac{1}{x²}}} = 1$

Vậy $GTLN$ của $y = y_{max} = \sqrt[]{2}$ tại $x = 1$. Hàm số không có $GTNN$