Đáp án:

 Câu 14: C

Giải thích các bước giải:

14. TXĐ: \(D=R\)

\(y'=3x^{2}-6mx\)

Để PT có 2 điểm cực trị: 

\(\Delta' =9m^{2} >0\)

\(\Rightarrow m \neq 0\)

Cho \(y'=0\)

\(\Leftrightarrow \) $\begin{cases}x=2m\\x=0\end{cases}$

Vậy \(A(2m;-4m^{3}+4m^{2}-2)\); \(B(0;4m^{2}-2)\)

\(AB^{2}=(-2m)^{2}+(4m^{3})^{2}\)

\(\Leftrightarrow AB=\sqrt{16m^{6}+4m^{2}}\)

Chia \(y\) cho \(y'\):

\(y=(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{m}{3})y'-2m^{2}x+4m^{2}-2\)

Phương trình đường thẳng qua hai cực trị \(A\) và \(B\):

\(\Delta: y=-2m^{2}x+4m^{2}-2\)

\(\Rightarrow \Delta: y+2m^{2}x-4m^{2}+2=0\)

\(S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.d(C;AB)=\dfrac{1}{2}.\sqrt{16m^{6}+4m^{2}}.\dfrac{|4+2m^{2}-4m^{2}+2|}{\sqrt{1+4m^{4}}}=4\)

\(\Leftrightarrow S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}.2|m|\sqrt{4m^{4}+1}.\dfrac{|-2m^{2}+6|}{\sqrt{1+4m^{4}}}=4\)

\(\Leftrightarrow |6m-2m^{3}|=4\)

\(\Leftrightarrow \)  \(\left[ \begin{array}{l}m=\pm 1\\m=\pm 2\end{array} \right.\) 

Tổng giá trị nguyên dương \(m\):

\(S=1+2=3\)