Bài 1:

Ta có: $\widehat{BAC} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$

$\Rightarrow ∆ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow 2S_{ABC} = AB.AC = BC.AH = AH.2R$

Ta lại có: $AD = 2R$

$\Rightarrow 2S_{ABC} = AH.AD$

$\Rightarrow AB.AC = AH.AD$

Xét tứ giác $ABDC$ có:

$AD\cap BC = O$

$OA = OB = OC = OD = R$

$\Rightarrow ABDC$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{BCD}$ (so le trong)

Ta lại có:

$\widehat{ABC} = \widehat{CAH}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

$\widehat{BCD} = \widehat{BAD}$ (cùng chắn $\overparen{BD}$)

nên $\widehat{CAH} = \widehat{BAD}$

Bài 2:

Sửa đề: $BHCK$ là hình bình hành

Ta có:

$\widehat{ACK} = 90^o$ (nhìn đường kính $AK$)

$\Rightarrow KC\perp AC$

Ta lại có:

$BH\perp AC$

$\Rightarrow BH//CK \, (\perp AC)$

Chứng minh tương tự ta được: $BK//CH \, (\perp AB)$

Do đó $BHCK$ là hình bình hành

Ta có:

$OM\perp BC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm $HK$

($BC, HK$ là hai đường chéo của hình bình hành $BHCK$)

$\Rightarrow H,M,K$ thẳng hàng$

Xét $∆AHK$ có:

$AO = OK$

$HM = MK$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình

$\Rightarrow OM = \dfrac{1}{2}AH$

Hay $AH = 2OM$

Bài 3:

Đặt $IC = x$ $(x > 0)$

$\Rightarrow CD = AB =  x + 7$

$\Rightarrow IB = AB - IA = x + 6$

Kẻ $OM\perp AB;\, ON\perp CD$

$\Rightarrow MA = MB = NC = ND = \dfrac{x + 7}{2}$

Ta được:

$OM = IN = CN - IC = \dfrac{x + 7}{2} - x$

$ON = IM = MA - IA = \dfrac{x + 7}{2} - 1$

Ta có:

$OB^2 = OC^2 = R^2$

$\Leftrightarrow BM^2 + OM^2 = CN^2 + ON^2$

$\Leftrightarrow OM^2 = ON^2$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{x + 7}{2} - x\right)^2  = \left(\dfrac{x + 7}{2} - 1\right)^2$

$\Leftrightarrow x = 1$

$\Rightarrow BM = 4\, cm; \, OM = 3\, cm$

$\Rightarrow R = \sqrt{BM^2 + OM^2} = 5\,cm$