Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)R=AB=\sqrt{(3-1)^2+(1+2)^2}=\sqrt{13}$

Phương trình đường tròn tâm $A$ bán kính $AB:$

$(x-1)^2+(y+2)^2=13$

$b)$Tâm đường tròn là trung điểm $ I$ của $BC$

Toạ độ trung điểm: $\left\{\begin{array}{l} x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2} =\dfrac{1}{2}\\y_I=\dfrac{y_B+y_C}{2}=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$

$\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\\ BC=\sqrt{(3+2)^2+1^2}=\sqrt{26} \Rightarrow R=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$

Phương trình đường tròn:

$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{13}{2}$

$c)\overrightarrow{BC}=(-5;-1)$

VTPT của đường thẳng $BC: (1;-5)$

Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $C(-2;0)$ có VTPT $(1;-5):$

$x+2-5y=0 \Leftrightarrow x-5y+2=0(\Delta)\\ R=d(A, \Delta)=\dfrac{|1-5.(-2)+2|}{\sqrt{1^2+5^2}}=\dfrac{\sqrt{26}}{2}$

Phương trình đường tròn tâm $A(1;-2)$ bán kính $\dfrac{\sqrt{26}}{2}:$

$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=\dfrac{13}{2}$

$d)$Phương trình đường tròn $(C)$ có dạng:

$x^2+ y^2 - 2ax – 2by + c = 0 ( a^2+ b^2 – c > 0)\\ A,B,C \in (C)\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 1^2+ (-2)^2 - 2.1.a – 2.(-2)b + c = 0 \\ 3^2+ 1^2 - 2.3a – 2.1.b + c = 0 \\ (-2)^2+ 0^2 - 2.(-2)a – 2b.0 + c = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2 a - 4 b -c = 5 \\ 6 a + 2 b- c = 10 \\ 4 a + c + 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} a=b=\dfrac{1}{2} \\ c=-6\end{array} \right.$

Phương trình đường tròn:

$x^2+ y^2- x- y -6 = 0.$