`a) P = (a + 5)/(a + 2)`

`P = (a + 2 + 3)/(a + 2)`

`P = 1 + 3/(a + 2)`

Để `P` nguyên

`<=> 3/(a + 2)` nguyên

`<=> 3 vdots a + 2`

`<=> a + 2 ∈ Ư (3)`

Mà: `Ư (3) = {±1; ±3}`

`=> a + 2 ∈ {±1; ±3}`

`=> a ∈ {±1; -3; -5}`

`b)` Để `P_{max}`

`<=> 3/(a + 2) max`

`<=> a + 2` là số nguyên dương nhỏ nhất với `a ∈ ZZ`

`<=> a + 2 = 1`

`<=> a = -1`

Vậy `P_{max} = (-1 + 5)/(-1 + 2) = 4` khi `a = -1`

Để `P_{min}`

`<=> 3/(a + 2) min`

`<=> a + 2` là số nguyên âm lớn nhất với `a ∈ ZZ`

`<=> a + 2 = -1`

`<=> a = -3`

Vậy `P_{min} = (-3 + 5)/(-3 + 2) = 2` khi `a = -3`

`c)` Để `P` tối giản

`<=> 3/(a + 2)` tối giản

Mà: `Ư (3) = {±1; ±3}`

`=>` `(a + 2; 3) = 1`

`<=> a + 2` $\not\vdots$ `3`

`=> a + 2 ne 3k, k ∈ ZZ`

`=> a ne 3k - 2`, `k ∈ ZZ`                           

Vậy `P` tối giản khi `a ne 3k - 2, k ∈ ZZ`

Đáp án:

`a, a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`

`b,` Max `P = 4 ⇔ a = -1`

      Min `P = 2 ⇔ a = -3`

`c, a` $\neq$ `3k - 2`  `(k ∈ Z)` 

Giải thích các bước giải:

Ta có: `P = (a + 5)/(a + 2) = (a + 2 + 3)/(a + 2) = 1 + 3/(a + 2)`

`a,` Để `P ∈ Z` thì: `3/(a + 2) ∈ Z`

`⇒` `3` $\vdots$ `a + 2`  `(a ∈ Z)`

`⇒ a + 2 ∈ Ư (3) = { ±1 ; ±3 }`

`⇒ a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`

Vậy `a ∈ { -1 ; -3 ; 1 ; -5 }`

`b,` +) Để `P` đạt GTLN thì: `3/(a + 2)` đạt GTLN

`⇒ a + 2` là số nguyên dương nhỏ nhất ứng với `a ∈ Z`

`⇒ a + 2 = 1`

`⇒ a = -1`

Khi đó, `P = (-1 + 5)/(-1 + 2) = 4`

Vậy Max`P = 4 ⇔ a = -1`

+) Để `P` đạt GTNN thì: `3/(a + 2)` đạt GTNN

`⇒ a + 2` là số nguyên âm lớn nhất ứng với `a ∈ Z`

`⇒ a + 2 = -1`

`⇒ a = -3`

Khi đó, `P = (-3 + 5)/(-3 + 2) = 2`

Vậy Min`P = 2 ⇔ a = -3`

`c,` Để `P` là phân số tối giản thì: `3/(a + 2)` là phân số tối giản

Vì `Ư (3) = { ±1 ; ±3 }`

`⇒` để `3/(a + 2)` tối giản thì `(a + 2 ; 3) = 1`

`⇒ a + 2`  $\not\vdots$ `3`

`⇒ a + 2` $\neq$ `3k`  `(k ∈ Z)`

`⇒ a` $\neq$ `3k - 2`  `(k ∈ Z)`

Vậy `P` tối giản `⇔ a` $\neq$ `3k - 2`  `(k ∈ Z)`