b,`a² + b² + c² + d² + e² ≥ ab + ca + da + ae`

Ta có: `a² + b² + c² + d² + e²`

`= ((a²)/4 + b²) + ((a²)/4 + c²) + ((a²)/4 + d²) + ((a²)/4 + e²)`

Lại có: `(a/2 - b)² ≥ 0`

       `<=> (a²)/4 - ab + b² ≥ 0`

       `<=> (a²)/4 + b² ≥ ab`

Tương tự ta có:

 `(a²)/4 + c² ≥ ac`

 `(a²)/4 + d² ≥ ad`

 `(a²)/4 + e² ≥ ae`

`=> ((a²)/4 + b²) + ((a²)/4 + c²) + ((a²)/4 + d²) + ((a²)/4 + e²) ≥ ab + ac + ad + ae`

`<=> a² + b² + c² + d² + e² ≥ a(b + c + d + e)`

Dấu " = " xảy ra `a/2 = b = c = d = e.`

VẬY ĐPCM 

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ $a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$ $(1)$

$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0$

$⇔ (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2) \geq 0$

$⇔ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ $\text{(luôn đúng)}$

$\text{Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$}$

$\text{Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh}$

b/ $a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \geq ab+ac+ad+ae$ $(2)$

$⇔ 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae \geq 0$

$⇔ (a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4ae+4e^2) \geq 0$

$⇔ (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2 \geq 0$ $\text{(luôn đúng)}$

$\text{Dấu "=" xảy ra khi $a=2b=2c=2d=2e$}$

$\text{Vậy bất đẳng thức (2) được chứng minh}$

c/ $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$ $(3)$

$⇔ 3a^2+3b^2+3c^2 \geq a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc $

$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0$

$⇔ (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2) \geq 0$

$⇔ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \geq 0$ $\text{(luôn đúng)}$

$\text{Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$}$

$\text{Vậy bất đẳng thức (3) được chứng minh}$

d/ `(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})`

`= 1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1`

`= (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+3`

$\text{Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta có:}$

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2$

$\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a} \geq 2\sqrt{\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}}=2$

$\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b} \geq 2\sqrt{\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}}=2$

$⇒ (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}) \geq 6$

$⇔ (\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})+3 \geq 9$

$⇔ (a+b+c)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}) \geq 9$ $\text{(ĐPCM)}$

$\text{Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$}$

Chúc bạn học tốt !!!