Giải thích các bước giải:

a.Xét $\Delta AIF, \Delta AIB$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AIF}=\widehat{ABI}$ vì $AI$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\Delta AIF\sim\Delta ABI(g.g)$

$\to\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AF}{AI}$

$\to AI^2=AF\cdot AB$

Xét $\Delta AHF,\Delta ABD$ có:

Chung $\hat A$ 

$\widehat{AFH}=\widehat{ADB}(=90^o)$

$\to\Delta AHF\sim\Delta ABD(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AF}{AD}$

$\to AH\cdot AD=AF\cdot AB$

$\to AI^2=AF\cdot AB=AH\cdot AD$

b.Ta có $AI$ là tiếp tuyến của $(O)\to AI\perp OI$

$\to \widehat{ADO}=\widehat{AIO}=90^o$

$\to AIOD$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

Ta có: $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^o$

$\to AFDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

c.Xét $\Delta HEI,\Delta HBK$ có:

$\widehat{EHI}=\widehat{KHB}$ (đối đỉnh)

$\widehat{HIE}=\widehat{KIE}=\widehat{KBE}=\widehat{KBH}$

$\to\Delta HEI\sim\Delta HKB(g.g)$

$\to \dfrac{HE}{HK}=\dfrac{HI}{HB}$

$\to HE\cdot HB=HI\cdot HK$

Xét $\Delta HAE,\Delta HBD$ có:

$\widehat{AHE}=\widehat{DHB}$(đối đỉnh)

$\widehat{HEA}=\widehat{HDB}(=90^o)$

$\to\Delta HAE\sim\Delta HBD(g.g)$

$\to \dfrac{HA}{HB}=\dfrac{HE}{HD}$

$\to HA\cdot HD=HE\cdot HB$

$\to HI\cdot HK=HA\cdot HD$

d.Xét $\Delta HAI,\Delta HKD$ có:

$\widehat{AHI}=\widehat{DHK}$(đối đỉnh)

$\dfrac{HA}{HK}=\dfrac{HD}{HI}$ vì $HI\cdot HK=HA\cdot HD$

$\to\Delta HAI\sim\Delta HKD(c.g.c)$

$\to \widehat{HAI}=\widehat{HKD}$

$\to\widehat{DAI}=\widehat{DKI}$

$\to AKDI$ nội tiếp

Mà $AIOD$ nội tiếp

$\to A, K, D, O, I$ cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADI$

e.Ta có $A, K, D, O, I$ cùng thuộc một đường tròn

$\to \widehat{AKO}=\widehat{ADO}=90^o$

$\to AK\perp KO$

$\to AK$ là tiếp tuyến của $(O)$