a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$+) \quad BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 225$

$\Rightarrow BC = \sqrt{225} = 15\, cm$

$+) \quad AB^2 = BH.BC$

$\Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{9^2}{15} = \dfrac{27}{5} \,cm$

$+) \quad BC = BH + HC$

$\Rightarrow HC = BC - BH = 15- \dfrac{27}{5} = \dfrac{48}{5} \, cm$

$+) \quad AB.AC = BC.AH$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{9.12}{15} = \dfrac{36}{5} \,cm$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AE.AB = AF.AC = AH^2$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$

Xét $ΔAEF$ và $ΔACB$ có:

$ \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{AF}{AB}$ $(cmt)$

$\widehat{A}:$ góc chung

Do đó $ΔAEF \sim ΔACB\, (c.g.c)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{EF}{BC}$

Xét tứ giác $AEHF$ có:

$\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^o$

Do đó $AEHF$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow EF = AH = \dfrac{36}{5}$

$\Rightarrow \dfrac{EF}{BC} = \dfrac{\dfrac{36}{5}}{15} = \dfrac{12}{25}$

Ta được:

$\dfrac{S_{AEF}}{S_{ABC}} = \left(\dfrac{EF}{BC}\right)^2 = \dfrac{144}{625}$

$\Rightarrow S_{AEF} = \dfrac{144}{625}S_{ABC}$

$\Rightarrow S_{BEFC} = S_{ABC} - S_{AEF} = \dfrac{481}{625}S_{ABC} = \dfrac{481}{625}\cdot\dfrac{1}{2}AB.AC= \dfrac{25974}{625} \approx 41,56 \, cm^2$