Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Do $a^2+b^2\vdots8$

$⇒a^2;b^2$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ

Với trường hợp $a^2;b^2$ cùng lẻ

$⇒a;b$ cùng lẻ

Mọi số lẻ đều chia 4 dư 1 hoặc 3

Xét 3 trường hợp:

-Trường hợp 1: Nếu cả 2 số chia 4 dư 1

Đặt $a=4m+1;b=4n+1(m;n∈N)$

$⇒a^2+b^2=(4m+1)^2+(4n+1)^2$

$=16m^2+8m+1+16n^2+8n+1$

$=8(2m^2+2n^2)+8(m+n)+2$

Dễ thấy biểu thức trên không chia hết cho 8

⇒ Trường hợp này không xảy ra

-Trường hợp 2: Nếu cả 2 số chia 4 dư 3

Đặt $a=4m+3;b=4n+3(m;n∈N)$

$⇒a^2+b^2=(4m+3)^2+(4n+3)^2$

$=16m^2+24m+9+16n^2+24n+9$

$=8(2m^2+2n^2)+8(3m+3n)+18$

Dễ thấy biểu thức trên không chia hết cho 8

⇒ Trường hợp này không xảy ra

-Trường hợp 3: Nếu 1 trong 2 số chia 4 dư 1, số còn lại chia 4 dư 3

Giả sử a chia 4 dư 1; b chia 4 dư 3 (trường hợp ngược lại chứng minh tương tự)

Đặt $a=4m+1;b=4n+3(m;n∈N)$

$⇒a^2+b^2=(4m+1)^2+(4n+3)^2$

$=16m^2+8m+1+16n^2+24n+9$

$=8(2m^2+2n^2)+8(m+3n)+10$

Dễ thấy biểu thức trên không chia hết cho 8

⇒ Trường hợp này không xảy ra

Vậy, cả 3 trường hợp đi đến kết luận:

$a^2+b^2\vdots8$ thì a,b không thể đồng thời là số lẻ (đpcm)