Đáp án:

$A. \, V_{S.ABCD} = \dfrac{4a^3\sqrt{21}}{9}$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $ABCD$ là hình thoi

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA$

Lại có: $\widehat{BAC} = 60^o$

$\Rightarrow ΔBAC$ đều

$\Rightarrow AB = BC = CD = DA = AC = 2a$

Mặt khác: $AH = 2HB$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AB = \dfrac{4a}{3}$

Áp dụng định lý $\cos$ vào $ΔAHC$ ta được:

$CH^2 = AC^2 + AH^2 - 2AC.AH\cos\widehat{HAC}$

$\Leftrightarrow CH^2 = 4a^2 + \dfrac{16a^2}{9} - 2.2a.\dfrac{4a}{3}.\cos60^o = \dfrac{28a^2}{9}$

$\Rightarrow CH = \dfrac{2a\sqrt7}{3}$

Ta có: $SH\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SH\perp CH; \, \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCH} = 45^o$

$\Rightarrow SH = CH.\tan45^o = \dfrac{2a\sqrt7}{3}$

Do đó: $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH$

$= \dfrac{1}{3}.2S_{ABC}.SH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{AB^2\sqrt3}{4}.SH$

$= \dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{2a\sqrt7}{3} = \dfrac{4a^3\sqrt{21}}{9} \, (đvtt)$

$ΔABC$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}BA=BC\\\widehat{BAC}=60^o\end{array} \right.$ $→ ΔABC$ đều

$→ \widehat{ABC}=60^o$

Áp dụng định lí $cosin$ vào $ΔBHC$, ta có:

$HC=\sqrt[]{HB^2+BC^2-2HB.HC.cosB}$

$=\sqrt[]{\Bigg(\dfrac{2a}{3}\Bigg)^2+(2a)^2-2.2a.\dfrac{2a}{3}.cos60^o}$

$=\dfrac{2a\sqrt[]{7}}{3}$

Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCH}=45^o$

$→ SH=HC=\dfrac{2a\sqrt[]{7}}{3}$ (Vì $ΔSHC$ vuông cân)

Diện tích đáy là: 

$S_{ABCD}=2S_{ΔABC}=2.\dfrac{(2a)^2\sqrt[]{3}}{4}=2a^2\sqrt[]{3}$

Thể tích khối chóp là:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.2a^2\sqrt[]{3}.\dfrac{2a\sqrt[]{7}}{3}=\dfrac{4a^3\sqrt[]{21}}{9}$