Ta có:

$S.ABC$ là hình chóp tam giác đều

$\Rightarrow SB = SC$

$\Rightarrow ∆SBC$ cân tại $S$

mà $I$ là trung điểm cạnh đáy $BC$

$\Rightarrow SI\perp BC$ $(1)$

Ta lại có: $∆ABC$ đều

$I$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow AI\perp BC$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow BC\perp (SAI)$

$\Rightarrow BC\perp SA$

b) Ta có:

$IB = IC$

$\Rightarrow S_{ABI} = S_{ACI} = \dfrac{1}{2}S_{ABC}$

$\Rightarrow V_{S.ABI} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABC}$

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$

$\Rightarrow SO\perp (ABC)$

$\Rightarrow AO= \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = AO^2 + SO^2$

$\Rightarrow SO= \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{33}}{3}$

Ta cũng có: $S_{ABC}= \dfrac{AB^2\sqrt3}{4} =\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Do đó:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{33}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$

$\Rightarrow V_{S.ABI} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{24}$

a) Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $S$ xuống $(ABC)$

Ta có:

$BC⊥AI$ (do $ΔABC$ đều)

$BC⊥SH$

$→ BC⊥(SAI) → BC⊥AS$

b) Vì $ΔABC$ đều nên $AH=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt[]{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt[]{3}}{3}$

$→ SH=\sqrt[]{SA^2-AH^2}=\dfrac{a\sqrt[]{33}}{3}$

Diện tích $ΔABI$ là:

$S_{ΔABI}=\dfrac{1}{2}S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a^2\sqrt[]{3}}{4}=\dfrac{a^2\sqrt[]{3}}{8}$

Thể tích khối chóp $S.ABI$ là:

$V_{S.ABI}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a^2\sqrt[]{3}}{8}.\dfrac{a\sqrt[]{33}}{3}=\dfrac{a^3\sqrt[]{11}}{24}$