a) Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH = DE$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$AD.AB = AH^2$

$AE.AC = AH^2$

$\Rightarrow AD.AB = AE.AC$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$

Xét $∆ADE$ và $∆ACB$ có:

$\dfrac{AD}{AC} = \dfrac{AE}{AB}$ $(cmt)$

$\widehat{A}:$ góc chung

Do đó $∆ADE\sim ∆ACB \, (c.g.c)$

c) Ta có:

$EK\perp DE \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{DEK} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{DEH} + \widehat{HEK} = 90^o$

Ta lại có: $\widehat{DEH} + \widehat{DEA} = \widehat{HEA} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{HEK} = \widehat{DEA}$ (cùng phụ $\widehat{DEH}$)

mà $\widehat{DEA} = \widehat{ABC}$ $(∆ADE\sim ∆ACB)$

$\widehat{ABC}=\widehat{EHK}$ (đồng vị)

nên $\widehat{HEK} = \widehat{EHK}$

$\Rightarrow ∆KEH$ cân tại $K$

$\Rightarrow KE = KH$ $(1)$

Mặt khác:

$\widehat{KEC} = \widehat{DEH}$ (cùng phụ $\widehat{HEK}$)

$\widehat{DEH} = \widehat{AHE}$ ($ADHE$ là hình chữ nhật)

$\widehat{AHE} = \widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{CHE}$)

$\Rightarrow \widehat{KEC} = \widehat{ACH}$

Hay $\widehat{KEC} = \widehat{ECK}$

$\Rightarrow ∆KEC$ cân tại $K$

$\Rightarrow KE = KC$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow KE = KC = KB = \dfrac{1}{2}HC$

$\Rightarrow K$ là trung điểm $HC$

d) Xét $∆IMH$ và $∆AKH$ có:

$\widehat{IHM} = \widehat{AHK} = 90^o$

$\widehat{HIM} = \widehat{HAK}$ (cùng phụ $\widehat{IKA}$)

Do đó $∆IMH\sim ∆AKH\, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{MH}{HK} = \dfrac{IH}{AH}$

$\Rightarrow MH = \dfrac{HK.IH}{AH} =\dfrac{\dfrac{1}{2}HB.\dfrac{1}{2}HC}{AH} = \dfrac{1}{4}AH$

Xét ΔADE∆ADE và ΔACB∆ACB có:

ADAC=AEABADAC=AEAB (cmt)(cmt)

ˆA:A^: góc chung

Do đó ΔADE∼ΔACB(c.g.c)∆ADE∼∆ACB(c.g.c)

c) Ta có:

EK⊥DE(gt)EK⊥DE(gt)

⇒ˆDEK=90o⇒DEK^=90o

⇒ˆDEH+ˆHEK=90o⇒DEH^+HEK^=90o

Ta lại có: ˆDEH+ˆDEA=ˆHEA=90oDEH^+DEA^=HEA^=90o

⇒ˆHEK=ˆDEA⇒HEK^=DEA^ (cùng phụ ˆDEHDEH^)

mà ˆDEA=ˆABCDEA^=ABC^ (ΔADE∼ΔACB)(∆ADE∼∆ACB)

ˆABC=ˆEHKABC^=EHK^ (đồng vị)

nên ˆHEK=ˆEHKHEK^=EHK^

⇒ΔKEH⇒∆KEH cân tại KK

⇒KE=KH⇒KE=KH (1)(1)

Mặt khác:

ˆKEC=ˆDEHKEC^=DEH^ (cùng phụ ˆHEKHEK^)

ˆDEH=ˆAHEDEH^=AHE^ (ADHEADHE là hình chữ nhật)

ˆAHE=ˆACHAHE^=ACH^ (cùng phụ ˆCHECHE^)

⇒ˆKEC=ˆACH⇒KEC^=ACH^

Hay ˆKEC=ˆECKKEC^=ECK^

⇒ΔKEC⇒∆KEC cân tại KK

⇒KE=KC⇒KE=KC (2)(2)

(1)(2)⇒KE=KC=KB=12HC(1)(2)⇒KE=KC=KB=12HC

⇒K⇒K là trung điểm HCHC

d) Xét ΔIMH∆IMH và ΔAKH∆AKH có:

ˆIHM=ˆAHK=90oIHM^=AHK^=90o

ˆHIM=ˆHAKHIM^=HAK^ (cùng phụ ˆIKAIKA^)

Do đó ΔIMH∼ΔAKH(g.g)∆IMH∼∆AKH(g.g)

⇒MHHK=IHAH⇒MHHK=IHAH

⇒MH=HK.IHAH=12HB.12HCAH=14AH