a)

Tứ giác $AOHC$ có $\widehat{AOC}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

Nên $AOHC$ nội tiếp

b)

Ta có $\widehat{AMC}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOC}=\dfrac{1}{2}\cdot 90{}^\circ =45{}^\circ $ (góc nội tiếp bằng $\dfrac{1}{2}$ góc ở tâm)

Vậy $\Delta CHM$ vuông tại $H$ có $\widehat{AMC}=45{}^\circ $

Nên $\Delta CHM$ vuông cân tại $H$

$\Rightarrow HC=HM$

Mà $OC=OM$

Nên $OH$ là đường trung trực của $CM$

Hay $OH$ cũng là phân giác $\widehat{COM}$

c)

Vì $OH$ là đường trung trực của $CM$

Mà $I\in OH$

Nên $IC=IM$

$\Rightarrow \Delta ICM$ cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{ICM}=\widehat{IMC}$

Mà $\widehat{ICM}=\widehat{IDB}$ (cùng chắn cung $BM$)

Nên $\widehat{IMC}=\widehat{IDB}$

Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

Vậy $CM//DB$

$\Rightarrow CDBM$ là hình thang

Mà $CDBM$ lại nội tiếp

Nên $CDBM$ trở thành hình thang cân

d)

Với $OH$ là đường trung trực của $CM$

Mà $N\in OH$

Nên $HN$ là phân giác $\widehat{CHM}$

$\to \widehat{CHN}=\widehat{MHN}$

Mà $\widehat{CHN}=\widehat{CAO}=45{}^\circ $ (vì $AOHC$ nội tiếp)

Nên $\widehat{MHN}=45{}^\circ $

Ta có $\widehat{AMB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\Rightarrow AM\bot MB$

$\Rightarrow \Delta MHN$ vuông tại $M$

Có $\widehat{MHN}=45{}^\circ $

Nên $\Delta MHN$ vuông cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{INB}=45{}^\circ $

Vậy $\widehat{INB}=\widehat{CMA}=45{}^\circ $

Xét $\Delta INB$ và $\Delta CMA$, ta có:

+   $\widehat{INB}=\widehat{CMA}=45{}^\circ $

+   $\widehat{IBN}=\widehat{CAM}$ (cùng chắn cung $CM$)

Nên $\Delta INB\backsim\Delta CMA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BN}{MA}=\dfrac{IN}{MC}$

$\Rightarrow BN.MC=IN.MA$