Đáp án:

Giải thích các bước giải:

16/

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = AC\\
\widehat {ABC} = \widehat {ACB}
\end{array} \right.\)  (tính chất tam giác cân)

Vì \(BD, CE\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {ABC}\) và \(\widehat {ACB}\) (giả thiết) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{{\widehat {ABC}}}{2}\\
\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{{\widehat {ACB}}}{2}
\end{array} \right.\) (tính chất tia phân giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

 Xét \(∆ABD\) và  \(∆ACE\) có:

+) \(AB = AC\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat{A}\) chung

+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \)

\(\Rightarrow A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\) (\(2\) cạnh tương ứng).

Ta có \(AD =  AE\) (chứng minh trên) nên  \(∆ADE\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \widehat {AD{\rm{E}}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(∆ADE\) có:  \(\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat {AD{\rm{E}}} + \widehat A = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\widehat {A{\rm{ED}}} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {A{\rm{ED}}} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Xét \(∆ABC\) có: \(\widehat A +\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong tam giác)

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \widehat {2ABC} + \widehat A = {180^0}\\
\Rightarrow \widehat {ABC}= \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \widehat{A{\rm{ED}}}\) = \(\widehat{ABC}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra \(DE // BC\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Do đó \(BEDC\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Lại có \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\)  (chứng minh trên)

Nên \(BEDC\) là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Ta có:

\(DE//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{B_2}}\) (so le trong)

Lại có \(\widehat{B_{2}}\) = \(\widehat{B_{1}}\) (chứng minh trên) nên \(\widehat{B_{1}}\) = \(\widehat{{D_{1}}}\)

\( \Rightarrow \Delta EB{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EB = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân).

Vậy \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

17/

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD.\)

Xét \(∆ECD\) có: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (giả thiết)

\(\Rightarrow \Delta EC{\rm{D}}\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân)   (1)

Ta có:

\({\rm{AB//DC}}\left( \text{giả thiết} \right) \)\(\;\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {{C_1}}\\
\widehat {AB{\rm{E}}} = \widehat {{D_1}}
\end{array} \right.\left( \text{so le trong} \right)\)

Mà: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left( \text{giả thiết} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {AB{\rm{E}}}\) \( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow AE = BE\) (tính chất tam giác cân)   (2)

Lại có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
AC = A{\rm{E}} + EC\\
B{\rm{D}} = BE + DE
\end{array} \right.\;\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(AC = BD.\)

Suy ra hình thang \(ABCD\) là hình thang cân

18/

a) \(E\) thuộc đường thẳng \(DC\) nên \(CE // AB.\)

Hình thang \(ABEC\; (AB // CE)\) có hai cạnh bên \(AC, BE\) song song (giả thiết) \( \Rightarrow AC = BE\)  (1)  (nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau )

Lại có: \(AC = BD\) (giả thiết)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE = BD\) \( \Rightarrow \Delta BED\) cân tại \(B\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Ta có \(AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E\) (2 góc đồng vị) (3)

\(∆BDE\) cân tại \(B\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E\) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)

Xét \(∆ACD\) và \( ∆BDC\) có:

+) \(AC = BD\) (giả thiết)

+) \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (chứng minh trên)

+) \(CD\) chung

Suy ra \(∆ACD = ∆BDC\) (c.g.c)

c) Ta có: \(∆ACD = ∆BDC\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}\) (\(2\) góc tương ứng)

Hình thang \(ABCD\) có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.