Đáp án: `vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = 3vec{GG'}`

Giải thích các bước giải:

- Vì `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> vec{GA} + vec{GB} + vec{GC} = 0`

- Vì `G'` là trọng tâm của `ΔABC`

`=> vec{G'A'} + vec{G'B'} + vec{G'C'} = 0`

- Áp dụng quy tắc 3 điểm, ta có:

`vec{AA'} = vec{AG} + vec{GG'} + vec{G'A'}`

`vec{BB'} = vec{BG} + vec{GG'} + vec{G'B'}`

`vec{CC'} = vec{CG} + vec{GG'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = vec{AG} + vec{GG'} + vec{G'A'} + vec{BG} + vec{GG'} + vec{G'B'} + vec{CG} + vec{GG'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = (vec{AG} + vec{BG} + vec{CG}) + 3vec{GG'} + (vec{G'A'} + vec{G'B'} + vec{G'C'}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = vec{0} + 3vec{GG'} + vec{0}`

`=> vec{AA'} + vec{BB'} + vec{CC'} = 3vec{GG'}`  

Do G, G' là các trọng tâm nên:

$\vec{AG}+\vec{BG}+\vec{CG}=\vec{0}$

$\vec{G'A'}+\vec{G'B'}+\vec{G'C'}=\vec{0}$

Ta có:

$\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}$

$=\vec{AG}+\vec{GA'}+\vec{BG}+\vec{GB'}+\vec{CG}+\vec{GC'}$

$=\vec{GA'}+\vec{GB'}+\vec{GC'}$

$=\vec{GG'}+\vec{G'A'}+\vec{GG'}+\vec{G'B'}+\vec{GG'}+\vec{G'C'}$

$=3\vec{GG'}$ (dpcm)