Giải thích các bước giải:

`1)` Vì đồ thị hàm số đi qua 2 điểm `M(1; - 1)` và `N(2; 1)` nên thay vào hàm số ta có:

`{(a + b = -1),(2a + b = 1):} <=> {(-a = -2),(a + b = -1):} <=> {(a = 2),(b = -1 - 2):} <=> {(a = 2),(b = -3):}` 

Vậy hàm số cần tìm là `y = 2x - 3`

`2) x^2 - 2mx + m^2 -m + 3 = 0 (1)`

`a)` Với `m = 4` ta có phương trình:

`x^2 - 2. 4. x + 4^2 - 4 + 3 = 0`

`<=> x^2 - 8x + 15 = 0`

`\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4. 1. 15 = 4 > 0`

Do `\Delta > 0` nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

`x_1 = (-b + sqrt{\Delta})/(2a) = (8 + 2)/2 = 5`

`x_2 = (-b - sqrt{\Delta})/(2a)  = (8 - 2)/2 = 3`

Vậy với `m = 4` thì phương trình có tập nghiệm `S = {3; 5}`

`b)` Ta có: `\Delta = (-2m)^2 - 4. 1. (m^2 -m +3)`

`= 4m^2 - 4m^2 + 4m - 12`

`= 4m - 12`

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi `\Delta > 0`

`<=> 4m - 12 > 0`

`<=> 4m > 12`

`<=> m > 3`

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: `{(x_1 + x_2 = 2m),(x_1x_2 = m^2 - m + 3):}`

Theo đề bài ta có: `P = x_1. x_2 - x_1 - x_2`

`= m^2 - m + 3 - 2m`

`= m^2 - 3m + 3`

`= (m^2 - 3m + 9/4) + 3/4`

`= (m - 3/2)^2 + 3/4`

Với `∀x` ta có: `(m - 3/2)^2` $\geqslant 0$

`=> (m - 3/2)^2 + 3/4` $\geqslant$ `3/4`

Hay `P` $\geqslant$ `3/4`

Dấu $"="$ xảy ra `<=> m - 3/2 = 0 <=> m = 3/2`

Vậy `P_{min} = 3/4` khi `m = 3/2`