Xét tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{A} = \widehat{M} = \widehat{N} = 90^o$

Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật

Ta có: $MI\perp MN$

$\Rightarrow \widehat{IMN} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{IMH} + \widehat{NMH} = 90^o$

mà $\widehat{AMN} + \widehat{NMH} = \widehat{M} = 90^o$

nên $\widehat{AMN} = \widehat{IMH}$

Ta lại có: $\widehat{AMN} = \widehat{MAH}$ ($AMHN$ là hình chữ nhật)

$\widehat{MAH} = \widehat{MHI}$ (cùng phụ $\widehat{MHA}$)

$\Rightarrow \widehat{IMH} = \widehat{MHI}$

$\Rightarrow ΔIMH$ cân tại $I$

$\Rightarrow IM = IH$ $(1)$

Tương tự ta có:

$\widehat{NMH} + \widehat{IMH} = 90^o$

$\widehat{IMB} + \widehat{IMH} = \widehat{M} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{IMB} = \widehat{NMH}$

mà $\widehat{NMH} = \widehat{AHM}$

$\widehat{AHM} = \widehat{IBM}$ (cùng phụ $\widehat{IHM}$)

$\Rightarrow \widehat{IMB} = \widehat{IBM}$

$\Rightarrow ΔIBM$ cân tại $I$

$\Rightarrow IM = IB$ $(2)$

$(1)(2) \Rightarrow IM = IB = IH = \dfrac{1}{2}BH$

Chứng minh tương tự, ta được: $KN = KC = KH = \dfrac{1}{2}CH$

Do đó $MI + NK = \dfrac{1}{2}BH + \dfrac{1}{2}CH = \dfrac{1}{2}BC$