Giải thích các bước giải:

a, E là điểm đối xứng với A qua D ⇒ DA = DE

mà DA = BC ⇒ DE = BC

Tứ giác DBCE có DE = BC và DE ║ BC

⇒ DBCE là hình bình hành (đpcm)

b, Tứ giác ACEF có 2 đường chéo AE, CF cắt nhau tại D là trung điểm mỗi đường

⇒ ACEF là hình bình hành mà AE ⊥ CF

⇒ ACEF là hình thoi (đpcm)

c, Xét ΔACE có EH, CD là đường cao cắt nhau tại K

⇒ K là trực tâm ΔACE

⇒ AI ⊥ CE ⇒ ΔAIC vuông tại I

Gọi O = AC ∩ BD thì O là trung điểm của AC, BD 

ΔAIC vuông tại I có IO là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ IO = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD

ΔBID có trung tuyến IO ứng với cạnh BD và bằng nửa cạnh ấy

⇒ ΔBID vuông tại I

⇒ $S_{BID}$ = $\frac{1}{2}$.DI.BI (1)

Ta có: BD ║ CE mà AI ⊥ CE ⇒ BD ⊥ AI hay IM ⊥ BD

⇒ $S_{BID}$ = $\frac{1}{2}$.IM.BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IM.BD = DI.BI (đpcm)