Vì $a,b,c$ cùng thuộc một cấp số cộng và theo giả thiết $a$ là số hạng thứ 1, $b$ là số hạng thứ $2$, $c$ là số hạng thứ $4$ của cấp số cộng nên ta có

$b=a+d$, $c=a+3d$ với $d$ là công sai của CSC

$\begin{array}{l} 8{a^3} + {b^3} + 6abc = {c^3}\\  \Leftrightarrow {\left( {2a + b} \right)^3} - 6ab\left( {2a + b} \right) + 6abc = {c^3}\\  \Leftrightarrow {\left( {2a + b} \right)^3} - {c^3} - 6ab\left( {2a + b - c} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left( {2a + b - c} \right)\left[ {{{\left( {2a + b} \right)}^2} + \left( {2a + b} \right)c + {c^2} - 6ab} \right] = 0\\  \Leftrightarrow \left( {2a + b - c} \right)\left[ {4{a^2} + 4ab + {b^2} + 2ac + {c^2} + bc - 6ab} \right] = 0\\  \Leftrightarrow \left( {2a + b - c} \right)\left( {4{a^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} + bc + 2ac} \right) = 0\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a + b - c = 0\\ 4{a^2} - 2ab + {b^2} + {c^2} + bc + 2ac = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a = c - b\\ 8{a^2} - 4ab + 2{b^2} + 2{c^2} + 2bc + 4ac = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a = c - b\\ {\left( {2a - b} \right)^2} + {\left( {2a + c} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} = 0 \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2a = c - b\\ \left\{ \begin{array}{l} 2a - b = 0\\ 2a + c = 0\\ b + c = 0 \end{array} \right.\left( {VSN} \right) \end{array} \right. \Rightarrow 2a = c - b\\  \Rightarrow 2a = a + 3d - a - d = 2d\\  \Rightarrow a = d\\  \Rightarrow b = a + d = 2d,c = a + 3d = 4d\\  \to \left( {a,b,c} \right) = \left( {d,2d,4d} \right)\\  \to CSN:{u_1} = d,q = 2\\ \end{array}$

Vậy suy ra đpcm.