1)

Có $\widehat{CAD}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Nên $\Delta AEF$ vuông tại $A$

Có đường cao $AB$

Do đó $BE.BF=A{{B}^{2}}$

$\Rightarrow BE.BF={{\left( 2R \right)}^{2}}$

$\Rightarrow BE.BF=4{{R}^{2}}$

2)

Có $\widehat{AEF}=\widehat{OAD}$ (cùng phụ $\widehat{AFE}$)

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{ODA}$ (vì $\Delta OAD$ cân tại $O$)

Nên $\widehat{AEF}=\widehat{ODA}$

Vậy $CEFD$ nội tiếp (góc ngoài bằng góc đối trong)

3)

Với $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $CEFD$

$\Rightarrow IE=IF$

$\Rightarrow I$ thuộc đường trung trực của $EF$

Gọi $G$ là trung điểm $EF$

$\Rightarrow IG\bot EF$

Mà $AO\bot EF$

Nên $IG//AO$

Với $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $CEFD$

Có $O$ là trung điểm dây $CD$

Nên $IO\bot CD$

Ta có $\Delta AEF$ vuông tại $A$ với trung tuyến $AG$

Nên $GA=GF$

$\Rightarrow \Delta GAF$ cân tại $G$$\Rightarrow \widehat{GAF}=\widehat{GFA}$

Có $\Delta OAD$ cân tại $O\Rightarrow \widehat{ODA}=\widehat{OAD}$

$\Rightarrow \widehat{GAF}+\widehat{ODA}=\widehat{GFA}+\widehat{OAD}$

Mà $\widehat{GFA}+\widehat{OAD}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{GAF}+\widehat{ODA}=90{}^\circ $

Do đó $AG\bot CD$

Mà $ID\bot CD\left( cmt \right)$

Nên $AG//ID$

Tứ giác $IGAO$ có $AG//ID\,\,;\,\,IG//AO$

Nên $IGAO$ là hình bình hành

$\Rightarrow IG=AO=R$

$\Rightarrow $Tâm $I$ cách $EF$ một khoảng không đổi là $R$

Mà $EF\bot AB$

Nên tâm $I$ di động trên đường thẳng song song với $EF$ cách $EF=R$